Question

Дана функция y=-x^3/3+2x^2-3x-1. Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции

Answer 1

Дана функция y = (-x³/3)+2x²-3x-1.

Находим производную и приравниваем нулю:

y' = -x² + 4x - 3 = x² - 4x + 3 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно x:

Ищем дискриминант:

D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;

x_2=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1.

Получили 2 критические точки: х = 1 и х = 3 и три промежутка монотонности функции: (-∞; 1), (1; 3) и (3; +∞).

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

x = 0 1 2 3 4

y' = -3 0 1 0 -3

Минимум в точке х = 1, у = -2,3333.

Максимум в точке х = 3, у = -1.

Функция возрастает на промежутке (1; 3).

Функция убывает на промежутках (-∞; 1) ∪ (3; +∞).

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции y = -x^3/3 + 2x^2 - 3x - 1, мы сначала найдем производную функции, а затем проанализируем её знаки и точки, где производная равна нулю.

1. Найдем производную функции y по x: y' = d/dx (-x^3/3 + 2x^2 - 3x - 1) y' = (-1/3)d/dx(x^3) + 2d/dx(x^2) - 3*d/dx(x) - 0 y' = (-1/3)3x^2 + 22x - 3 y' = -x^2 + 4x - 3

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю, чтобы определить экстремумы:

• x^2 + 4x - 3 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного уравнения или графически. Решение будет x = -1 и x = 3.

3. Теперь определим промежутки монотонности, используя знак производной в этих точках и между ними.

3.1. Для x < -1: Подставляем x = -2 (значение между -1 и 3) в y': y'(-2) = -(-2)^2 + 4*(-2) - 3 = -4 - 8 - 3 = -15

Так как производная отрицательна в этом интервале, функция убывает на этом промежутке.

3.2. Для -1 < x < 3: Подставляем x = 0 (значение между -1 и 3) в y': y'(0) = -(0)^2 + 4*(0) - 3 = -3

Так как производная отрицательна в этом интервале, функция также убывает на этом промежутке.

3.3. Для x > 3: Подставляем x = 4 (значение больше 3) в y': y'(4) = -(4)^2 + 4*(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3

Так как производная отрицательна в этом интервале, функция продолжает убывать.

Итак, функция убывает на всей числовой оси, и у неё нет экстремумов, так как производная всегда отрицательна.