Question

Найти общее решение дифференциального уравнения и решить задачу Коши: y''-7y'+12y=e³ˣ(1+3x²)+sin3x y(0)=0, y'(0)=0

Answer 1

Смотрите решение в прикреплённых файлах.

Answer 2

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения y'' - 7y' + 12y = e^(3x)(1 + 3x^2) + sin(3x) сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 7r + 12 = 0

Для нахождения корней этого квадратного уравнения, мы можем факторизовать его:

(r - 3)(r - 4) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: r1 = 3 и r2 = 4.

Теперь мы можем записать общее решение характеристического уравнения:

y_c(x) = C1 * e^(3x) + C2 * e^(4x)

Теперь мы можем найти частное решение неоднородного уравнения. Мы видим два члена в правой части: e^(3x)(1 + 3x^2) и sin(3x). Давайте найдем частное решение для каждого из них.

1. Частное решение для e^(3x)(1 + 3x^2): Для нахождения частного решения вида y_p = A * e^(3x)(1 + 3x^2), подставим его в неоднородное уравнение и решим для A:

A * (3^2) * e^(3x)(1 + 3x^2) - 7A * (3 * e^(3x)(1 + 3x^2)) + 12A * e^(3x)(1 + 3x^2) = e^(3x)(1 + 3x^2)

После упрощения получим:

A * 9e^(3x)(1 + 3x^2) - 7A * 3e^(3x)(1 + 3x^2) + 12A * e^(3x)(1 + 3x^2) = e^(3x)(1 + 3x^2)

9Ae^(3x)(1 + 3x^2) - 21Ae^(3x)(1 + 3x^2) + 12Ae^(3x)(1 + 3x^2) = e^(3x)(1 + 3x^2)

Ae^(3x)(1 + 3x^2) = e^(3x)(1 + 3x^2)

Отсюда получаем:

A = 1

Таким образом, частное решение для e^(3x)(1 + 3x^2) равно:

y_p1(x) = e^(3x)(1 + 3x^2)

2. Частное решение для sin(3x): Для нахождения частного решения вида y_p = B * sin(3x), подставим его в неоднородное уравнение и решим для B:

B * (-3^2) * sin(3x) - 7B * (3 * cos(3x)) + 12B * sin(3x) = sin(3x)

-9B * sin(3x) - 21B * cos(3x) + 12B * sin(3x) = sin(3x)

(12B - 9B) * sin(3x) - 21B * cos(3x) = sin(3x)

3B * sin(3x) - 21B * cos(3x) = sin(3x)

Поделим обе стороны на 3:

B * sin(3x) - 7B * cos(3x) = sin(3x)

Теперь используем тригонометрические тождества:

B * sin(3x) - 7B * (sin(π/2 - 3x)) = sin(3x)

B * sin(3x) - 7B * sin(π/2 - 3x) = sin(3x)

Теперь сравниваем коэффициенты при sin(3x) и sin(π/2 - 3x):

B - 7B = 1

-6B = 1

B = -1/6

Таким образом, частное решение для sin(3x) равно:

y_p2(x) = (-1/6) * sin(3x)

Теперь мы можем записать общее частное решение для неоднородного уравнения:

y_p(x) = y_p1(x) + y_p2(x) = e^(3x)(1 + 3x^2) - (1/6) * sin(3x)

И наконец, общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = y_c(x) + y_p(x) = C1 * e^(3x) + C2 * e^(4x) + e^(3x)(1 + 3x^2) - (1/6) * sin(3x)

Теперь давайте решим начальную задачу Коши, используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 0:

y(0) = C1 * e^(0) + C2 * e^(0) + e^(0)(1 + 3 * 0^2) - (1/6) * sin(0) = C1 + C2 = 0

y'(0) = 3C1 * e^(0) + 4C2 * e^(0) + e^(0)(0 + 0) - (1/6) * cos(0) = 3C1 + 4C2 = 0

Теперь мы имеем систему уравнений:

C1 + C2 = 0 3C1 + 4C2 = 0

Мы можем решить эту систему уравнений. Сначала умножим первое уравнение на 3 и вычтем его из второго:

3C1 + 4C2 - 3C1 - 3C2 = 0

C2 = 0

Теперь, зная C2, мы можем найти C1 из первого уравнения:

C1 + 0 = 0

C1 = 0

Таким образом, полученное общее решение удовлетворяет начальным условиям:

y(x) = 0 * e^(3x) + 0 * e^(4x) + e^(3x)(1 + 3x^2) - (1/6) * sin(3x)

Итак, решение начальной задачи Коши для данного дифференциального уравнения с данными начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 0:

y(x) = e^(3x)(1 + 3x^2) - (1/6) * sin(3x)