Question

Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 и т.д. Могло ли у него в итоге получиться 100 частей?

Answer 1

Было 1.
Разделили на 3 части, стало 3.
2 части оставили в покое, одну разделили на 3, стало 5.
4 части не трогали, одну разделили на 3, стало 7.
И т.д.

Просматривается арифметическая прогрессия с первым членом равным 1 и шагом 2. Если просуммировать все полученные части, то можно узнать, получится всего 100 частей или нет. Пусть n - число членов арифметической прогрессии. Найдём, при каком n сумма будет равна 100. Если n окажется целым, то это возможно, если нет - невозможно.

$S = \frac{2a_1+d(n-1)}{2} n = \frac{2*1+2*(n-1)}{2} n = \frac{2(1+n-1)}{2}n = n^2 = 100 \\ \\ n= 10$

Итак, Гоша сможет получить 100 кусочков стенгазеты за 10 раз, считая с момента срывания стенгазеты со стены.

Answer 2

Это интересная математическая задача. Чтобы узнать, могло ли у Гоши получиться 100 частей, надо посчитать, сколько раз он порвал стенгазету. Пусть $n$ - это количество раз, которое он порвал стенгазету. Тогда количество частей, которые он получил, равно $3^n$. Мы хотим найти такое $n$, что $3^n=100$. Для этого надо взять логарифм от обеих частей уравнения:

$$\log_3(3^n)=\log_3(100)$$

$$n=\log_3(100)$$

Теперь надо вычислить логарифм. Можно использовать калькулятор или формулу перехода к другому основанию:

$$\log_3(100)=\frac{\log_{10}(100)}{\log_{10}(3)}\approx 4.19$$

Получается, что $n$ - это не целое число. Это значит, что Гоша не мог порвать стенгазету ровно 100 частей, потому что он не мог порвать ее дробное количество раз. Ответ: нет, у него не могло получиться 100 частей.

Эта задача - одна из олимпиадных задач по математике для 5 класса. Вы можете найти еще похожие задачи на сайте Малого мехмата МГУ или в интернете.