Question

Σ((-1)^n) n /ln n помогите решить n от 2 до ∞

Answer 1

Расходится, так как

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln n} =\infty\neq 0$

Answer 2

Вы ищете сумму абсолютно сходящегося ряда $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\ln n}$. Такие ряды можно решать с помощью ряда Лейбница, который имеет следующую формулу:

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots$$

где $a_n$ - положительные члены ряда, которые убывают с ростом n и стремятся к нулю.

В данном случае $a_n = \frac{n}{\ln n}$ - положительное значение для всех $n \geq 2$. Мы можем проверить, что $a_n$ убывает:

$$\frac{d}{dn} \left(\frac{n}{\ln n}\right) = \frac{1}{\ln n} - \frac{1}{(\ln n)^2} = \frac{(\ln n) - 1}{(\ln n)^2}$$

Теперь мы видим, что производная положительна для всех $n \geq 2$ (так как $\ln n > 1$), следовательно, $a_n$ убывает.

Теперь мы можем применить ряд Лейбница. Сумма такого ряда равна:

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \ldots = \frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} + \frac{4}{\ln 4} - \frac{5}{\ln 5} + \ldots$$

Обратите внимание, что $a_1 = \frac{2}{\ln 2}$, $a_2 = \frac{3}{\ln 3}$, $a_3 = \frac{4}{\ln 4}$, и так далее.

Следовательно, сумма данного ряда равна:

$$\frac{2}{\ln 2} - \frac{3}{\ln 3} + \frac{4}{\ln 4} - \frac{5}{\ln 5} + \ldots$$