Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ 1. Волк увидел косулю в нескольких метрах от себя и погнался за ней по прямой лесной тропе. Прыжок волка на 22% короче прыжка косули. Оба животных прыгают с постоянной скоростью. Все прыжки косули имеют одинаковую длину, прыжки волка тоже равны между собой. Существует промежуток времени, за который и волк и косуля делают по некоторому целому числу прыжков. При этом каждый раз оказывается, что волк сделал на t% прыжков больше, чем косуля. Найдите наибольшее целое значение t, при котором волк не сможет догнать косулю. 2. Дана прямоугольная трапеция АВСЕ, основания которой (ВС меньше АЕ) равны 5 и 7. Меньшая боковая сторона АВ=ВС. На АВ отмечена точка F, так что ВF: FА=2:3; на АС отмечена точка G, так что АG: GС=4:1; на АЕ отмечена точка D, так что АD: DЕ=5:2. Определите градусную меру угла DFG.

Answer 1

1. Прыжок волка на 22% короче прыжка косули.

Если длина прыжка косули х м, то длина прыжка волка 0,78х м.

За какое-то время T косуля делает у прыжков.

А волк делает на t% больше, то есть

y(1 + t/100) прыжков.

За это время T косуля упрыгает на xy м (y прыжков по х м).

А волк пропрыгает 0,78x*y(1 + t/100) м.

И волк не должен догнать косулю.

0,78xy(1 + t/100) < xy

0,78(1 + t/100) < 1

0,78 + 0,0078t < 1

0,0078t < 0,22

t < 0,22/0,0078 = 2200/78 = 28,2

Так как t должно быть максимальным целым, то t = 28.

Ответ: волк должен делать не более, чем на 28% больше прыжков, чем косуля.

2. Смотри рисунок.

AB = BC = AD = 5; BF = 2; AF = 3; DE = 2.

ABCD - квадрат, АС - диагональ,

AC = 5√2; AG = 4√2; CG = √2.

Проведем дополнительные линии NG, GK, FM.

Рассмотрим треугольники ACD и AGK. Они подобны.

Треугольник ACD - прямоугольный и равнобедренный, AD = DC = 5

Треугольник AGK - прямоугольный и равнобедренный, AK = KG = 4

KD = 5 - 4 = 1

Отсюда видно, что GD - диагональ прямоугольника 1 на 4.

Так как AN = 4, а AF = 3, то FN = 4 - 3 = 1.

Треугольник ANG - прямоугольный и равнобедренный, AN = NG = 4

Поэтому FG - тоже диагональ прямоугольника 1 на 4.

FG = GD = √(1^2+4^2) = √17

FD = √(3^2+5^2) = √34 = √17*√2

Треугольник FGD - равнобедренный, и основание FD в √2 раз больше, чем боковые стороны FG и GD.

Это значит, что FGD ещё и прямоугольный треугольник.

Угол а = GFD = FDG = 45°.

Ответ: а = 45°

Answer 2

1. Для решения этой задачи, давайте представим, что каждый прыжок волка и косули имеет длину 1 (это не важно, так как отношения прыжков остаются теми же). Поскольку прыжки косули имеют одинаковую длину, мы можем представить, что косуля прыгает каждый раз на 1 метр.

   Теперь давайте рассмотрим ситуацию, когда волк сделал наибольшее возможное количество прыжков больше, чем косуля, но не догнал ее. Поскольку прыжки косули имеют длину 1 метр, догнать ее в этой ситуации означает, что волк сделал меньше прыжков, чем косуля, но наступил на ее след в конце.

   Давайте обозначим количество прыжков, сделанных косулей, как К, и количество прыжков, сделанных волком, как В. Тогда мы можем записать следующее уравнение:

   В = К - 1

   Таким образом, волк сделал на 1 прыжок меньше, чем косуля. Теперь мы знаем, что каждый прыжок волка на 22% короче, чем прыжок косули, поэтому длина прыжка волка составляет 0,78 метра (100% - 22% = 78% от длины прыжка косули).

   Теперь мы можем записать уравнение, связывающее расстояние, пройденное волком и косулей:

   0,78 * В = К

   Теперь мы можем объединить два уравнения:

   0,78 * (К - 1) = К

   Решим это уравнение:

   0,78К - 0,78 = К

   0,78К - К = 0,78

   -0,22К = 0,78

   К = 0,78 / (-0,22) ≈ -3,55

   Но поскольку К - количество прыжков, оно должно быть положительным целым числом. Таким образом, наибольшее целое значение t, при котором волк не сможет догнать косулю, равно 3.

2. Для нахождения градусной меры угла DFG давайте рассмотрим сначала треугольник DFG. Мы знаем, что АD: DЕ = 5:2, что означает, что AD равно 5x, а DE равно 2x для некоторого положительного числа x.

Теперь рассмотрим треугольник AGC. Мы знаем, что AG: GC = 4:1, что означает, что AG равно 4y, а GC равно y для некоторого положительного числа y.

Теперь, чтобы найти угол DFG, мы можем использовать тригонометрический закон косинусов в треугольнике DFG:

cos(DFG) = (DF^2 + FG^2 - GD^2) / (2 * DF * FG)

Теперь давайте найдем значения DF, FG и GD:

DF = DE + EF = 2x + 3x = 5x FG = GC - CF = y - 2y = -y GD = AD - AG = 5x - 4y

Теперь подставим эти значения в уравнение:

cos(DFG) = (5x^2 + (-y)^2 - (5x - 4y)^2) / (2 * 5x * -y)

Упростим числитель:

cos(DFG) = (25x^2 + y^2 - (25x^2 - 40xy + 16y^2)) / (-10xy)

Упростим еще:

cos(DFG) = (25x^2 + y^2 - 25x^2 + 40xy - 16y^2) / (-10xy)

cos(DFG) = (40xy - 15y^2) / (-10xy)

cos(DFG) = (-4y + 3y) / (xy)

cos(DFG) = -y / xy

cos(DFG) = -1/x

Теперь у нас есть значение cos(DFG). Чтобы найти угол DFG, мы можем использовать обратный косинус:

DFG = arccos(-1/x)

Теперь нам нужно знать значение x. Мы знаем, что АЕ относится к АD как 2:5, поэтому x = AE / (2 + 5) = AE / 7.

Теперь мы можем выразить угол DFG:

DFG = arccos(-1 / (AE / 7))

DFG = arccos(-7 / AE)

Таким образом, градусная мера угла DFG равна arccos(-7 / AE).