Question

Увидев лису в нескольких метрах от себя, собака погналась за ней по прямой просёлочной дороге. Прыжок собаки на 23% длиннее прыжка лисы. Существует промежуток времени, за который и лиса и собака делают по целому числу прыжков. При этом каждый раз оказывается, что собака за это время успевает сделать на t% прыжков меньше, чем лиса, где t – целое число. Предполагая, что все прыжки и у собаки, и у лисы одинаковы, найдите, при каком минимальном значении t лиса сможет убежать от собаки?

Answer 1

Пусть за время t лиса делает x прыжков.

Тогда собака за это время делает $x-\frac{xt}{100}=\frac{100x-xt}{100}=\frac{x(100-t)}{100}$ прыжков.

Пусть длина прыжка лисы y метров. Тогда длина прыжка собаки 1,23y метров.

За время t лиса пробежит xy метров, собака $\frac{1,23xy(100-t)}{100}$ метров.

Для того, чтобы лиса могла убежать от собаки, нужно, чтобы за время t она пробегала больше, чем собака

$xy>\frac{1,23xy(100-t)}{100}\\\\1>\frac{1,23(100-t)}{100}\\1,23(100-t)$

t должно быть наибольшим целым, значит t = 19.

Answer 2

Пусть длина прыжка лисы равна x, тогда длина прыжка собаки составляет 1.23x (на 23% длиннее). Пусть лиса сделает n прыжков, тогда собака сделает n - t прыжков (где t - целое число).

Расстояние, которое пройдет лиса за n прыжков, равно nx. Расстояние, которое пройдет собака за n - t прыжков, равно (n - t)(1.23x).

Поскольку лиса и собака бегут по прямой просёлочной дороге, чтобы лиса смогла убежать от собаки, расстояние, пройденное лисой, должно быть больше или равно расстоянию, пройденному собакой: nx ≥ (n - t)(1.23x)

Упрощая выражение: nx ≥ 1.23nx - 1.23tx 0.23nx ≥ 1.23tx 0.23n ≥ 1.23t

Так как t - целое число, наименьшее значение t будет получено, когда t равно наибольшему целому числу, которое меньше или равно 0.23n/1.23.

Таким образом, минимальное значение t равно ⌊0.23n/1.23⌋, где ⌊x⌋ обозначает наибольшее целое число, которое меньше или равно x.