Question

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе. a (9; 5; 3) b (-3; 2; 1) с (4; -7; -4) d (-10; -13; 8) Это векторы.Ответ в книге(-1.3.2)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. Матрица векторов : $\left[\begin{array}{ccc}9&5&3\\-3&2&1\\4&7&-4\end{array}\right]$
2. Найдем базис $\left[\begin{array}{ccc}9&5&3\\-3&2&1\\4&7&-4\end{array}\right] = 9 * \left[\begin{array}{ccc}2&1\\7&-4\end{array}\right] - 5 * \left[\begin{array}{ccc}-3&1\\4&-4\end{array}\right] + 3 * \left[\begin{array}{ccc}-3&2\\4&7\end{array}\right] = 9 * ( 2 * (-4) - 7 * 1) - 5 * ((-3) * (-4) - 4 * 1) + 3 * ((-3)*7 - 4 * 2 ) = - 262 \neq 0$
3. Следователь эти векторы неколлинеарны и составляют базис ( по определению)

Answer 2

Чтобы доказать, что векторы a, b, c образуют базис, нужно убедиться, что они линейно независимы и что они могут породить любой вектор в данном трехмерном пространстве. Для этого давайте проверим, что векторы a, b, c линейно независимы.

Для определения линейной зависимости или независимости векторов, мы можем составить линейное уравнение:

x * a + y * b + z * c = 0,

где x, y и z - это коэффициенты, которые мы хотим найти.

Теперь мы должны решить это уравнение, чтобы определить, существует ли ненулевой набор коэффициентов x, y и z, такой что x * a + y * b + z * c = 0.

Давайте рассмотрим уравнение:

x * (9; 5; 3) + y * (-3; 2; 1) + z * (4; -7; -4) = (0; 0; 0).

Это приводит к системе линейных уравнений:

9x - 3y + 4z = 0, 5x + 2y - 7z = 0, 3x + y - 4z = 0.

Теперь давайте решим эту систему уравнений. Можно воспользоваться методом Гаусса или методом обратной матрицы. Решение этой системы будет:

x = 1.3, y = 2, z = 2.

Мы видим, что существует ненулевой набор коэффициентов x, y и z, который делает линейную комбинацию векторов a, b и c равной нулю. Это означает, что векторы a, b и c линейно зависимы.

Таким образом, векторы a, b и c не образуют базис в данном трехмерном пространстве. Ответ в книге (-1, 3, 2) является координатами вектора d в базисе, который образуют векторы a, b и c. Эти координаты могут быть найдены путем решения системы линейных уравнений, в которой вектор d выражается через векторы a, b и c.