Question

Напишите уравнения плоскости которая проходит через точку М(2; -3;1) параллельно векторам. а(вектор)={-3; 2; -1} и b(вектор)={1; 2; 3}

Answer 1

Answer 2

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве можно записать в виде:

Ax + By + Cz + D = 0,

где (A, B, C) - нормальный вектор к плоскости, а (x, y, z) - координаты точки на плоскости.

Для поиска уравнения плоскости, проходящей через точку M(2, -3, 1) и параллельной векторам a и b, мы можем воспользоваться тем фактом, что нормальный вектор к плоскости можно найти как векторное произведение данных векторов a и b.

Сначала найдем нормальный вектор N к плоскости:

N = a x b,

где "x" обозначает векторное произведение. Вычислим векторное произведение a x b:

a x b = {-3, 2, -1} x {1, 2, 3}.

Для вычисления векторного произведения используется следующее правило:

(a x b)_x = (a_y * b_z - a_z * b_y) (a x b)_y = (a_z * b_x - a_x * b_z) (a x b)_z = (a_x * b_y - a_y * b_x)

Подставляем значения:

(a x b)_x = (-3 * 3 - (-1) * 2) = (-9 + 2) = -7, (a x b)_y = (-1 * 1 - (-3) * 2) = (-1 + 6) = 5, (a x b)_z = (-3 * 2 - 2 * 1) = (-6 - 2) = -8.

Итак, нормальный вектор к плоскости равен N = {-7, 5, -8}.

Теперь, у нас есть нормальный вектор к плоскости и точка M(2, -3, 1), через которую проходит плоскость. Мы можем подставить эти значения в уравнение плоскости:

-7x + 5y - 8z + D = 0.

Чтобы найти константу D, подставим координаты точки M(2, -3, 1):

-7(2) + 5(-3) - 8(1) + D = 0,

-14 - 15 - 8 + D = 0,

-37 + D = 0.

Теперь найдем D:

D = 37.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку M(2, -3, 1) и параллельной векторам a и b, выглядит следующим образом:

-7x + 5y - 8z + 37 = 0.