Question

Помогите пожалуйста найти полный дифференциал второго порядкаu=x+xy+1​

Answer 1

u = x + xy + 1

$d^2u=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}dx^2+2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}dxdy+\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}dy^2\\ \dfrac{\partial u}{\partial x}=1+y;\ \dfrac{\partial u}{\partial y}=x;\\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0;\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0;\ \dfrac{\partial}{\partial x}(\dfrac{\partial u}{\partial y})=\dfrac{\partial}{\partial y}(\dfrac{\partial u}{\partial x})=1\\ \\ \Rightarrow\ d^2u = 0dx^2+2dxdy+0dy^2=2dxdy$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала второго порядка функции u(x, y) = x + xy + 1, мы будем дважды дифференцировать эту функцию по переменным x и y.

1. Начнем с первого дифференциала:

du = ∂u/∂x dx + ∂u/∂y dy

где ∂u/∂x и ∂u/∂y - частные производные u по x и y соответственно. Давайте найдем их:

∂u/∂x = 1 + y ∂u/∂y = x

Теперь мы можем записать первый дифференциал:

du = (1 + y) dx + x dy

2. Теперь найдем второй дифференциал, дифференцируя первый дифференциал по x и y:

d(du) = d((1 + y) dx + x dy)

d(du) = d((1 + y) dx) + d(x dy)

Используя правила дифференцирования, мы получим:

d(du) = (d(1 + y) dx + (1 + y) d(dx)) + (d(x) dy + x d(dy))

Теперь давайте найдем дифференциалы d(1 + y) и d(x):

d(1 + y) = 0 dy + 1 d(y) = dy d(x) = 1 dx + 0 dy = dx

Теперь мы можем подставить эти значения обратно в уравнение:

d(du) = (dy dx + (1 + y) d(dx)) + (dx dy + x d(dy))

Теперь объединим подобные члены:

d(du) = dy dx + (1 + y) d(dx) + dx dy + x d(dy)

И наконец, преобразуем это уравнение:

d(du) = dy dx + dx dy + (1 + y) d(dx) + x d(dy)

Таким образом, полный дифференциал второго порядка функции u(x, y) = x + xy + 1 равен:

d(du) = dy dx + dx dy + (1 + y) d(dx) + x d(dy)