Question

Tg 75° / 1- tg^2 75° упростите выражение

Answer 1

Ответ:

$- \frac{\sqrt{3}}{6}$

Пошаговое объяснение:

$tg2\alpha = \frac{2tg\alpha }{1 - tg^{2}\alpha } \\\\\frac{tg 75^{0} }{1 - tg^{2}75^{0} } = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot tg 75^{0} }{1 - tg^{2}75^{0} } = \frac{1}{2} \cdot tg (2\cdot 75^{0}) = \frac{1}{2} \cdot tg 150^{0} = \\\\= \frac{1}{2} \cdot tg(180^{0} - 30^{0}) = \frac{1}{2} \cdot (-tg 30^{0} ) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса удвоенного угла:

tg(2θ) = (2tgθ) / (1 - tg^2θ)

В данном случае, θ = 75°, поэтому:

tg(2 * 75°) = (2 * tg75°) / (1 - tg^2(75°))

Сначала найдем значение tg75°. Известно, что tg45° = 1, и используя формулу для тангенса угла суммы, можно найти tg75°:

tg(75°) = tg(45° + 30°) = (tg45° + tg30°) / (1 - tg45° * tg30°)

tg45° = 1 и tg30° = 1/√3 (это стандартные значения тангенсов для этих углов). Подставляем их:

tg(75°) = (1 + 1/√3) / (1 - 1 * 1/√3) = (1 + 1/√3) / (1 - 1/√3)

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходное выражение:

tg(2 * 75°) = (2 * (1 + 1/√3)) / (1 - (1 + 1/√3) * (1/√3))

Далее упростим числитель и знаменатель:

Числитель: 2 * (1 + 1/√3) = 2 + 2/√3 = 2√3 + 2/√3 = 2(√3 + 1/√3)

Знаменатель: 1 - (1 + 1/√3) * (1/√3) = 1 - (1/√3 + 1/3) = 1 - 1/√3 - 1/3 = (3 - 1 - √3) / 3 = (2 - √3) / 3

Теперь выражение выглядит так:

tg(2 * 75°) = (2(√3 + 1/√3)) / ((2 - √3) / 3)

Для упрощения дроби в знаменателе, умножим её на обратное значение:

tg(2 * 75°) = (2(√3 + 1/√3)) * (3 / (2 - √3))

Теперь можно упростить выражение, умножив числитель и знаменатель:

tg(2 * 75°) = (6(√3 + 1/√3)) / (2 - √3)

И это будет окончательным упрощенным выражением.