Question

Понятие корня n-ой степени и его свойства

Answer 1

Свойства корня n-й степени


Чтобы успешно использовать на практике операцию извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции, что мы и сделаем настоящем параграфе.

Все свойства формулируются и доказываются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.



Доказательство. Введем следующие обозначения:   Нам надо доказать, что для неотрицательных чисел х, у, z выполняется равенство х-уz.
Так как 
Итак, Но если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из равенства xn =(уz)п следует, что х-уz, а это и требовалось доказать.   

Приведем краткую запись доказательства теоремы.





Замечания:

1. Теорема 1 остается справедливой и для случая, когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем двух неотрицательных чисел.
2. Теорему 1 можно сформулировать, используя конструкцию "если...то» (как это принято для теорем в математике). Приведем соответствующую формулировку: если а иb — неотрицательные числа, то справедливо равенство  Следующую теорему мы именно так и оформим.



Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее использовать на практике: корень из дроби равен дроби от корней.


Доказательство. Приведем краткую запись доказательства теоремы 2, а вы попробуйте сделать соответствующие комментарии, аналогичные тем, что были приведены при доказательстве теоремы 1.конечно, обратили внимание на то, что доказанные два свойства корней п-й степени представляют собой обобщение известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то как бы все было просто (и не очень интересно). На самом деле есть еще несколько интересных и важных свойств, которые мы обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим несколько примеров на использование теорем 1 и 2.


Пример 1. Вычислить 
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней (теорема 1), получим:




Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому, особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить числа 125, 64 и27,а затем извлечь кубический корень из полученного произведения. Но, согласитесь, предложенное решение «интеллигентнее».
Пример 2. Вычислить 
Решение. Обратим смешанное число в неправильную дробь.
Имеем Воспользовавшись вторым свойством корней (теорема 2), получим:


Пример 3. Вычислить: 
Решение. Любая формула в алгебре, как вам хорошо известно, используется не только «слева направо», но и «справа налево». Так, первое свойство корней означает, что  можно представить в виде , наоборот,  можно заменить выражением . То же относится и ко второму свойству корней. Учитывая это, выполним вычисления:


Пример 4. Выполнить действия: 
Решение, а) Имеем: 
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни одинаковой степени, т.е. только корни с одинаковым показателем. Здесь же предлагается умножить корень 2-й степени из числа а на корень 3-й степени из того же числа. Как это делать, мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. 
Продолжим изучение свойств радикалов.

Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это — следствие теоремы 1. В самом деле, например, для к = 3

Answer 2

Корень n-ой степени числа a - это такое число x, что x^n = a. Другими словами, корень n-ой степени числа a это число, которое возводится в степень n и равно a.

Свойства корня n-ой степени: 1. Если n - четное число, то корень n-ой степени из отрицательного числа существует только в комплексных числах. 2. Если n - нечетное число, то корень n-ой степени из отрицательного числа существует в действительных числах. 3. Корень n-ой степени из произведения двух чисел равен произведению корней n-ой степени из каждого из этих чисел. 4. Корень n-ой степени из частного двух чисел равен частному корней n-ой степени из каждого из этих чисел. 5. Корень n-ой степени из степени числа равен самому числу, возведенному в степень 1/n. 6. Корень n-ой степени из числа a всегда существует, даже если a отрицательное.

Это основные свойства корня n-ой степени, которые используются при работе с этим понятием в математике.