Question

Найти ядро линейного оператора, заданного формулой L(y)=y"-2y'+5y.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В приложении

Answer 2

Для того чтобы найти ядро (или ядра) линейного оператора, заданного дифференциальным оператором, нужно решить соответствующее дифференциальное уравнение:

L(y) = y'' - 2y' + 5y = 0.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти его ядро, сначала найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 2r + 5 = 0.

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение r = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a), где a = 1, b = -2 и c = 5:

r = (2 ± √((-2)^2 - 4(1)(5))) / (2(1)) r = (2 ± √(4 - 20)) / 2 r = (2 ± √(-16)) / 2.

Заметим, что подкоренное значение отрицательное, что означает, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни:

r1 = (2 + 4i) / 2 = 1 + 2i, r2 = (2 - 4i) / 2 = 1 - 2i.

Теперь мы можем записать общее решение дифференциального уравнения:

y(x) = c1 * e^(1 + 2i)x + c2 * e^(1 - 2i)x.

Где c1 и c2 - произвольные константы.

Чтобы найти ядро линейного оператора, нам нужно найти функции y(x), которые удовлетворяют условию L(y) = 0. Это означает, что y(x) должно быть решением дифференциального уравнения L(y) = 0. Таким образом, ядро линейного оператора состоит из всех функций, которые могут быть записаны в виде:

y(x) = c1 * e^(1 + 2i)x + c2 * e^(1 - 2i)x,

где c1 и c2 - произвольные константы.

Это ядро линейного оператора, заданного оператором L(y) = y'' - 2y' + 5y.