Question

Полное исследование функции и её график y=5x^3/1-x^2 Пожалуйста,зачётная работа

Answer 1

Ответ:

====================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для выполнения полного исследования функции y = (5x^3)/(1 - x^2), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите область определения функции.
2. Найдите производные функции и определите интервалы возрастания и убывания.
3. Найдите точки экстремума.
4. Найдите точки перегиба.
5. Исследуйте асимптоты функции.
6. Постройте график функции.

Давайте начнем с первого шага:

1. Область определения функции: Функция y = (5x^3)/(1 - x^2) не определена при x = ±1, так как в этих точках знаменатель равен нулю. Таким образом, область определения функции - это множество всех действительных чисел x, кроме x = ±1.

2. Производные функции и интервалы возрастания и убывания: Для нахождения производной функции, используем правило деления дифференциалов:

y' = (d/dx)(5x^3)/(1 - x^2) = [(d/dx)(5x^3)(1 - x^2) - 5x^3(d/dx)(1 - x^2)] / (1 - x^2)^2

Вычисляем производные: y' = [15x^2(1 - x^2) - 5x^3(-2x)] / (1 - x^2)^2 y' = (15x^2 - 15x^4 + 10x^4) / (1 - x^2)^2 y' = (25x^4 - 15x^2) / (1 - x^2)^2

Теперь определим интервалы возрастания и убывания, исследуя знак производной. Рассмотрим числовую прямую и точки x = -1, x = 0, и x = 1:

• Для x < -1: Подставим x = -2 в производную: y'(-2) = (25(-2)^4 - 15(-2)^2) / (1 - (-2)^2)^2 > 0. Знак положителен, поэтому функция возрастает на интервале x < -1.
• Для -1 < x < 0: Подставим x = -0.5 в производную: y'(-0.5) = (25(-0.5)^4 - 15(-0.5)^2) / (1 - (-0.5)^2)^2 < 0. Знак отрицателен, поэтому функция убывает на интервале -1 < x < 0.
• Для 0 < x < 1: Подставим x = 0.5 в производную: y'(0.5) = (25(0.5)^4 - 15(0.5)^2) / (1 - (0.5)^2)^2 < 0. Знак отрицателен, поэтому функция убывает на интервале 0 < x < 1.
• Для x > 1: Подставим x = 2 в производную: y'(2) = (25(2)^4 - 15(2)^2) / (1 - (2)^2)^2 > 0. Знак положителен, поэтому функция возрастает на интервале x > 1.

3. Точки экстремума: Чтобы найти точки экстремума, решим уравнение y' = 0: (25x^4 - 15x^2) / (1 - x^2)^2 = 0

Рассмотрим числовую прямую и точки x = -1, x = 0, и x = 1:

• Для x < -1 и x > 1: Производная положительна, поэтому нет точек экстремума на этих интервалах.
• Для -1 < x < 0: Производная равна нулю в точке x = -1/√5. Это точка локального максимума.
• Для 0 < x < 1: Производная равна нулю в точке x = 1/√5. Это точка локального минимума.

4. Точки перегиба: Чтобы найти точки перегиба, найдем вторую производную и решим уравнение y'' = 0:

y'' = (d^2/dx^2)[(25x^4 - 15x^2) / (1 - x^2)^2]

После вычислений получаем: y'' = (10x^2(7x^2 - 9)) / (1 - x^2)^3

Решим уравнение y'' = 0: 10x^2(7x^2 - 9) / (1 - x^2)^3 = 0

Точки перегиба находятся в x = -√7/3, x = √7/3.

5. Асимптоты: a. Горизонтальная асимптота: Поскольку степень числителя и знаменателя одинакова (4), функция имеет горизонтальную асимптоту в y = 0.

b. Вертикальные асимптоты: Функция имеет вертикальные асимптоты в x = ±1, так как это корни знаменателя.

c. Наклонные асимптоты: Функция не имеет наклонных асимптот.

6. Постройте график функции: На основе анализа выше мы можем построить график функции y = (5x^3)/(1 - x^2). График будет иметь вертикальные асимптоты в x = ±1, точки экстремума в x = -1/√5 и x = 1/√5, и точки перегиба в x = -√7/3 и x = √7/3. Функция также возрастает на интервалах x < -1 и x > 1, и убывает на интервалах -1 < x < 0 и 0 < x < 1. Горизонтальная асимптота находится на y = 0.

График функции будет выглядеть примерно следующим образом:

[Извините, но я не могу построить графики напрямую, так как моя функциональность ограничивается текстом. Вы можете использовать программы для построения графиков, такие как Desmos или GeoGebra, чтобы посмотреть график этой функции.]