Question

определите все значения параметра а, при которых уравнение cos в 4 степени х минус а cos в квадрате х минус 2(а+2)-0

Answer 1

ПОЯСНЕННЯ:

cos⁴x - cos²x - 2(a+2) = 0

cos²x = t

t² - t - 2(a+2) = 0

D=1+4*2(a+2)=1+8a+8=8a+9

8a+9=0, 8a=-9, a=-9/8

при а=-9/8, t=1/2, cos²x = 1/2, x=π/4 + πk/2, k∈Z

при а≠-9/8, t1,2=(1±√8a+9)/2

t1=(1+√8a+9)/2, cos²x = (1+√8a+9)/2, cosx=√(1+√8a+9) /2, x=arccos(√(1+√8a+9) /2)

t2=(1-√8a+9)/2, x=arccos(√(1-√8a+9) /2)

ВІДПОВІДЬ:

при а=-9/8, х=π/4 + πk/2, k∈Z

при а≠-9/8, х1=arccos(√(1-√8a+9) /2)

х2=arccos(√(1-√8a+9) /2)

Answer 2

Для определения всех значений параметра "а", при которых уравнение $\cos^4(x) - a\cos^2(x) - 2(a+2) = 0$ имеет корни, давайте рассмотрим это уравнение более подробно.

Пусть $y = \cos^2(x)$, тогда уравнение можно переписать следующим образом:

$y^2 - ay - 2(a+2) = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $y$. Чтобы найти значения параметра "а", при которых уравнение имеет корни, мы можем использовать дискриминант:

Дискриминант $D = a^2 - 4ac$

В данном случае $a = 1$ и $c = -2(a+2) = -2a - 4$, поэтому:

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a - 4) = 1 + 8a + 16$

$D = 8a + 17$

Теперь нам нужно найти значения "а", при которых $D \geq 0$, так как это гарантирует наличие действительных корней для уравнения. Решим неравенство:

$8a + 17 \geq 0$

$8a \geq -17$

$a \geq -\frac{17}{8}$

Таким образом, уравнение $\cos^4(x) - a\cos^2(x) - 2(a+2) = 0$ имеет действительные корни для всех значений "а", которые удовлетворяют неравенству $a \geq -\frac{17}{8}$.