Question

Найдите наибольшее значение функции y=x/(x^2+a^2) на промежутке (0;+oo)! Спасибо

Answer 1

$y=\dfrac{x}{x^2+a^2}=>y'=\dfrac{1*(x^2+a^2)-x*2x}{(x^2+a^2)^2}=\dfrac{a^2-x^2}{(x^2+a^2)^2}=\dfrac{-(x-|a|)(x+|a|)}{(x^2+a^2)^2}$

y': 0++++++++|a|----------->

|a|>0: Наибольшее значение достигается в x=|a|, и имеет значение $y=\dfrac{|a|}{|a|^2+a^2}=\dfrac{1}{2|a|}$

|a|=0: Критических точек функция не имеет и убывает на всей области задания. $\lim\limits_{x\to^ +0}\dfrac{x}{x^2+0^2}=\lim\limits_{x\to^ +0}\dfrac{1}{x}=+\infty$ - о наибольшем значении сказать ничего нельзя.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x / (x^2 + a^2) на интервале (0; +∞), мы можем воспользоваться методом дифференцирования. Для начала найдем производную этой функции по переменной x:

y = x / (x^2 + a^2)

Выразим y как произведение x и (x^2 + a^2)^(-1):

y = x * (x^2 + a^2)^(-1)

Теперь мы можем взять производную:

y' = [x * (x^2 + a^2)^(-1)]'

y' = [(x^3 + a^2x)^(-1)]'

С помощью правила дифференцирования произведения и цепного правила получаем:

y' = -(x^3 + a^2x)^(-2) * (3x^2 + a^2)

Теперь найдем точки экстремума, приравнивая производную к нулю:

0 = -(x^3 + a^2x)^(-2) * (3x^2 + a^2)

Это уравнение равно нулю, когда (3x^2 + a^2) равно нулю:

3x^2 + a^2 = 0

Теперь решим это уравнение относительно x:

3x^2 = -a^2

x^2 = -a^2 / 3

x = ±sqrt(-a^2 / 3)

Поскольку a - положительное число, исключим отрицательный корень:

x = sqrt(-a^2 / 3)

Теперь проверим, что это действительно точки экстремума, вычислив вторую производную:

y'' = [-(x^3 + a^2x)^(-2) * (3x^2 + a^2)]'

y'' = [-(x^3 + a^2x)^(-2) * (3x^2 + a^2)]''

Проведя вычисления, получим:

y'' = 2(x^3 + a^2x)^(-3) * (3x^4 - 6a^2x^2 - a^4)

Теперь подставим найденное значение x = sqrt(-a^2 / 3) и упростим выражение:

y'' = 2((-a^2 / 3)^(3/2) + a^2 * (-a^2 / 3)^(1/2))^(-3) * (3 * (-a^2 / 3)^(2) - 6a^2 * (-a^2 / 3) - a^4)

Упростим это дальше:

y'' = 2((-a^3 / 3^(3/2)) + (-a^3 / 3^(3/2)))^(-3) * (3 * (a^2 / 3) - 2a^2 * (-1) - a^4)

y'' = 2(-2a^3 / 3^(3/2))^(-3) * (a^2 / 3 + 2a^2 - a^4)

Теперь можно увидеть, что y'' всегда положительно, так как все члены в выражении положительные, за исключением a^4, который также положителен. Это означает, что x = sqrt(-a^2 / 3) - это точка минимума функции y = x / (x^2 + a^2).

Таким образом, наибольшее значение функции y = x / (x^2 + a^2) на интервале (0; +∞) достигается при x = sqrt(-a^2 / 3), и оно равно:

y(max) = sqrt(-a^2 / 3) / (sqrt(-a^2 / 3)^2 + a^2) = sqrt(-a^2 / 3) / (-a^2 / 3 + a^2) = sqrt(-a^2 / 3) / (2a^2 / 3) = (sqrt(-a^2 / 3) * 3) / (2a^2) = (3sqrt(-a^2 / 3)) / (2a^2)

Таково наибольшее значение функции на указанном интервале.