Question

8.5 Токарь за смену должен выточить 20 деталей. За каждую качественно изготовленную деталь он получит 800 рублей, за бракованную — штраф 500рублей, зa деталь, которую он не успел сделать, — 0 рублей. Сколько деталейизготовил токарь (качественных и бракованных), если за эту смену он получил1300 рублей?​

Answer 1

Ответ:

Токарь изготовил за смену 6 качественных и 7 бракованных деталей.

Объяснение:

Токарь за смену должен выточить 20 деталей. За каждую качественно изготовленную деталь он получит 800 рублей, за бракованную - штраф 500 рублей, зa деталь, которую он не успел сделать, - 0 рублей. Сколько деталей изготовил токарь (качественных и бракованных), если за эту смену он получил 1300 рублей?​

1) Введем обозначения.

Пусть токарь изготовил x качественных деталей и y бракованных.

За каждую качественную деталь он получил 800 рублей, тогда за все качественные детали он получил 800x рублей.

За каждую бракованную деталь его оштрафовали на 500 рублей, всего у токаря вычли 500y рублей.

За всю работу он получил 1300 рублей.

Составим уравнение.

800x - 500y = 1300.

Получили линейное уравнение с двумя неизвестными - диафантово уравнение.

• Все решения линейного диафантова уравнения
  ax + by = c
  определяются по формулам:
  x = x₁ + kb;
  y = y₁ - ka,
  где x₁ и y₁  - любое частное решение уравнения, k - целое число.

2) Найдем хотя бы одно частное решение этого уравнения.

Разделим обе части уравнения на 100.

8x - 5y = 13.

Методом подбора при x = 1, 2, ... получим что при x = 6, y = 7 получаем верное равенство.

8·6 + 5·7 = 48 - 35 = 13.

3) Найдем все возможные решения уравнения.

Получили два выражения, в которых правые части равны, значит и левые тоже равны:

8x - 5y = 13

8·6 - 5·7 = 13.

Приравняем левые части выражений и преобразуем полученное равенство.

8x - 5y = 8·6 - 5·7 ;

8x - 8·6 = 5y - 5·7;

8(x - 6) = 5(y - 7);

В правой части полученного выражения стоит множитель 5, это значит, что левая часть делится на 5.

Так как число 8 не делится на 5, то разность (x - 6) кратна 5.

⇒ x - 6 = 5k, где k ∈ Z (k - любое целое число);

⇒ x = 5k + 6.

Найдем y.

8·5k = 5(y - 7)  (разделим обе части уравнения на 5)

8k = y - 7;

y = 8k + 7.

Решением уравнения являются все целые числа, удовлетворяющие равенствам:

x = 5k + 6;

y = 8k + 7,  где k ∈ Z.

4) Оценим, сколько деталей изготовил токарь.

а) При k = 0

Качественных деталей x = 6,
бракованных деталей y = 7 ,
в этом случае мы приходим к нашему найденному частному решению.

800 · 6 - 500 · 7 = 4800 - 3500 = 1300. (верно).

При этом всего изготовленных деталей:

6 + 7 = 13.

б) При k = 1

качественных деталей: x = 5k + 6 = 5 + 6 = 11;

бракованных деталей: y = 8k + 7 = 8 + 7 = 15,

800 · 11 - 500 · 15 = 8800 - 7500 = 1300 (верно).

При этом всего изготовленных деталей:

11 + 15 = 26

По условию, токарь за смену должен изготовить 20 деталей.

26 > 20, не подходит по условию задачи.

Варианты при k ≥ 1 нам не подходят по условию задачи, и дальше можно не проверять.

Токарь изготовил за смену 6 качественных и 7 бракованных деталей.

#SPJ1

Answer 2

Давайте обозначим количество качественных деталей как "К" и количество бракованных деталей как "Б". Также, учитывая условия задачи, мы знаем следующее:

1. За каждую качественную деталь он получит 800 рублей.
2. За бракованную деталь он будет платить штраф в размере 500 рублей.

Сначала давайте определим, сколько деталей токарь должен был изготовить за смену:

20 деталей.

Теперь мы можем составить уравнение, учитывая количество качественных и бракованных деталей:

800К - 500Б = 1300

Также у нас есть ограничение на общее количество деталей:

К + Б = 20

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки. Сначала решим второе уравнение относительно одной из переменных, например, К:

К = 20 - Б

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

800(20 - Б) - 500Б = 1300

Раскроем скобки:

16000 - 800Б - 500Б = 1300

Сгруппируем переменные:

-800Б - 500Б = 1300 - 16000

-1300Б = -14700

Разделим обе стороны на -1300, чтобы найти значение Б:

Б = 14700 / 1300 Б = 11.3077 (приближенно)

Теперь, когда мы знаем, что Б = 11.3077, мы можем найти К, используя второе уравнение:

К = 20 - Б К = 20 - 11.3077 К = 8.6923 (приближенно)

Токарь изготовил приближенно 8.6923 качественных деталей и 11.3077 бракованных деталей. Округлим эти значения:

Количество качественных деталей: 8 Количество бракованных деталей: 11

Итак, токарь изготовил 8 качественных деталей и 11 бракованных деталей.