Question

Найти lim(2sin(x/4))/x при x->0 без правила Лопеталя, пожалуйста!!!

Answer 1

Без правила Лопиталя

Answer 2

Для нахождения lim(2sin(x/4))/x при x->0 без использования правила Лопиталя, мы можем воспользоваться разложением в ряд Тейлора для функции sin(x) и затем подставить x/4 вместо x.

Разложение в ряд Тейлора для функции sin(x) в окрестности точки x=0:

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...

Теперь заменим x на x/4:

sin(x/4) = (x/4) - (x/4)^3/3! + (x/4)^5/5! - ...

Умножим полученное выражение на 2 и поделим на x:

lim(2sin(x/4))/x = lim(2((x/4) - (x/4)^3/3! + (x/4)^5/5! - ...))/x = lim(1 - (x/4)^2/3! + (x/4)^4/5! - ...)

Теперь найдем предел этого выражения при x->0:

lim(1 - (x/4)^2/3! + (x/4)^4/5! - ...) = 1 - 0 + 0 - ... = 1

Итак, lim(2sin(x/4))/x при x->0 равен 1.