Question

Найдите объем тела, образованного вращением области, заключенной между кривыми y=e^(5x)+1, y=0, x=0, x=0.3 вокруг оси у

Answer 1

Ответ:

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры , , где y1(x) и y2(x) - непрерывные неотъемлемые функции, равняется определенному интегралу от разницы квадратов функций yi(x) по переменной x

Объем тела V, образованного вращением вокруг оси Oy фигуры , , где y(x) - однозначная непрерывная функция, равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

Примеры выбраны из учебной программы для студентов механико-математического факультета Львовского национального университета имени Ивана Франко.

Answer 2

Для нахождения объема тела, образованного вращением области между кривыми вокруг оси у, можно воспользоваться формулой для объема вращения:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$

где $f(x)$ - функция, задающая верхнюю границу области, а $[f(x)]^2$ - квадрат этой функции, так как вращение происходит вокруг оси у.

В данном случае, у нас есть кривые $y = e^{5x} + 1$, $y = 0$ и границы интегрирования $x = 0$ и $x = 0.3$.

Таким образом, формула объема будет следующей:

$V = \pi \int_{0}^{0.3} [e^{5x} + 1]^2 \,dx$

Теперь вычислим этот интеграл. Сначала найдем квадрат функции внутри интеграла:

$[e^{5x} + 1]^2 = e^{10x} + 2e^{5x} + 1$

Теперь подставим это обратно в формулу объема:

$V = \pi \int_{0}^{0.3} (e^{10x} + 2e^{5x} + 1) \,dx$

Теперь выполним вычисления:

$V = \pi \left[ \frac{1}{10}e^{10x} + \frac{2}{5}e^{5x} + x \right]_{0}^{0.3}$

$V = \pi \left[ \frac{1}{10}e^{3} + \frac{2}{5}e^{1.5} + 0.3 \right]$

$V \approx \pi \left[ 0.067 \cdot e^{3} + 0.447 \cdot e^{1.5} + 0.3 \right]$

Вычислите численное значение этого выражения, и полученный результат будет объемом тела, образованного вращением указанной области вокруг оси у.