Question

Выполнить полное исследование функции и построить ее график х^2-9/х+4​

Answer 1

Ответ:

======================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для выполнения полного исследования функции f(x) = (x^2 - 9) / (x + 4), нам нужно провести следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти асимптоты функции.
3. Найти точки пересечения с осями координат.
4. Найти экстремумы функции (если они есть).
5. Исследовать знак производной функции для определения интервалов возрастания и убывания.
6. Найти точки экстремума, если они существуют.
7. Исследовать выпуклость и вогнутость функции.
8. Найти точки перегиба (если они есть).
9. Построить график функции.

Давайте начнем с выполнения каждого из этих шагов.

1. Область определения функции: Функция f(x) определена для всех x, кроме x = -4 (поскольку знаменатель не может быть равен нулю).

2. Асимптоты: a. Вертикальная асимптота: x = -4 (из-за нулевого знаменателя). b. Горизонтальная асимптота: f(x) при x -> ±∞ стремится к y = 1 (можно установить это, разделив каждый член числителя и знаменателя на x^2).

3. Точки пересечения с осями координат: Функция пересекает ось x при x = ±3, так как (±3)^2 - 9 = 0, и пересекает ось y при y = -3/4, так как при x = 0, f(0) = (-9) / 4 = -3/4.

4. Экстремумы: Для нахождения экстремумов найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю: f'(x) = (2x(x + 4) - (x^2 - 9)) / (x + 4)^2 Упростим это до: f'(x) = (2x^2 + 8x - x^2 + 9) / (x + 4)^2 f'(x) = (x^2 + 8x + 9) / (x + 4)^2

   Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: (x^2 + 8x + 9) / (x + 4)^2 = 0 x^2 + 8x + 9 = 0

   Решим это квадратное уравнение: (x + 3)(x + 3) = 0 x = -3

   Таким образом, есть одна точка экстремума в x = -3.

5. Исследование знака производной: Для этого построим таблицу знаков производной вокруг критической точки x = -3:

   -∞	-	+	+

   -4	-	0	+
   +∞	+	+	+

   Из таблицы видно, что функция возрастает на интервале (-∞, -3) и убывает на интервале (-3, +∞).

6. Точки экстремума: Мы уже найдем точку экстремума, которая равна (-3, f(-3)).

7. Выпуклость и вогнутость: Для этого найдем вторую производную f''(x): f''(x) = 18 / (x + 4)^3

   Вторая производная положительна на всей области определения, поэтому функция выпукла вниз.

8. Точки перегиба: Точки перегиба - это корни уравнения f''(x) = 0, но в данном случае они отсутствуют.

9. Построим график функции:

   График функции выглядит следующим образом:

   

   На графике видно, что у функции есть вертикальная асимптота в x = -4, горизонтальная асимптота y = 1, одна точка экстремума в x = -3, и она выпукла вниз.