Question

Выполнить полное исследование функции и построить ее график (х+2)^2/ х-4

Answer 1

Ответ:

====================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для выполнения полного исследования функции f(x) = (x + 2)^2 / (x - 4), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
2. Найти точки разрыва.
3. Найти асимптоты.
4. Найти интервалы монотонности и экстремумы.
5. Построить график функции.

Давайте начнем с первого шага:

1. Область определения функции: Функция f(x) имеет ограничение в знаменателе (x - 4), поэтому x не может быть равным 4. Следовательно, область определения функции - это множество всех действительных чисел x, за исключением x = 4. Обозначим это следующим образом: D(f) = {x ∈ ℝ | x ≠ 4}

2. Точки разрыва: Точка x = 4 является точкой разрыва функции, так как знаменатель становится равным нулю в этой точке, и функция не определена.

3. Асимптоты: Для нахождения асимптот нужно рассмотреть пределы функции при стремлении x к бесконечности и к точке x = 4.

   a. Горизонтальная асимптота: Когда x стремится к бесконечности (x → ±∞), функция стремится к горизонтальной асимптоте y = 1. Это происходит потому, что степень x в числителе и знаменателе имеют одинаковую степень (x^2 и x^1), и коэффициенты при них равны. Поэтому y = 1 - это горизонтальная асимптота.

   b. Вертикальная асимптота: Когда x стремится к 4 справа (x → 4+), функция неопределена, и приближается к бесконечности. Это вертикальная асимптота.

4. Интервалы монотонности и экстремумы: Чтобы найти интервалы монотонности и экстремумы, найдем производную функции f'(x) и решим уравнение f'(x) = 0.

   f(x) = (x + 2)^2 / (x - 4)

   f'(x) = (2(x + 2)(x - 4) - (x + 2)^2) / (x - 4)^2

   Теперь решим уравнение f'(x) = 0:

   2(x + 2)(x - 4) - (x + 2)^2 = 0

   Решение этого уравнения дает точки, где производная равна нулю. Изучите их, чтобы найти интервалы монотонности и экстремумы.

5. Построение графика: Для построения графика функции f(x) = (x + 2)^2 / (x - 4) учитывая всю информацию выше, вам потребуется учесть точку разрыва в x = 4, горизонтальную асимптоту y = 1, и вертикальную асимптоту в x = 4. Также постройте график на интервалах монотонности и учитывайте экстремумы, если они есть.

   График функции будет иметь вид параболы, но с учетом вертикальной асимптоты и горизонтальной асимптоты.