Question

Вычислить определенный интеграл x*ln(x)*dx от 1 до 2

Answer 1

$\int\limits^2_1 {x*ln(x)} \, dx\\\\ \int\limits^b_a {u} \, dv=uv|^b_a- \int\limits^b_a {v} \, du\\\\u=lnx=>du=\frac{1}{x}\\dv=xdx=>v=\frac{x^2}{2}\\\\ \int\limits^2_1 {x*ln(x)} \, dx=\frac{x^2}{2}lnx|^2_1- \int\limits^2_1 {\frac{x}{2}} \, dx=\frac{x^2}{2}lnx|^2_1-\frac{x^2}{4}|^2_1=2ln2-1+\frac{1}{4}=\\=2ln2-\frac{3}{4}$

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла ∫(x * ln(x)) dx от 1 до 2, мы можем использовать метод интегрирования по частям или метод замены переменной. Давайте воспользуемся методом интегрирования по частям.

Чтобы применить метод интегрирования по частям, мы используем формулу: ∫(u * v) dx = u * v - ∫(v * du)

Для данной функции, мы можем выбрать u = ln(x) и dv = x dx. Тогда, du = (1/x) dx и v = (1/2) * x^2.

Заменяя значения в формуле интегрирования по частям, получаем: ∫(x * ln(x)) dx = (1/2) * x^2 * ln(x) - ∫((1/2) * x^2 * (1/x)) dx

Упрощая выражение, получается: ∫(x * ln(x)) dx = (1/2) * x^2 * ln(x) - (1/2) * ∫x dx

Интеграл ∫x dx от 1 до 2 равен (1/2) * (2^2 - 1^2) = (1/2) * (4 - 1) = 3/2.

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл: ∫(x * ln(x)) dx от 1 до 2 = [(1/2) * x^2 * ln(x) - (1/2) * x] от 1 до 2 = [(1/2) * 2^2 * ln(2) - (1/2) * 2] - [(1/2) * 1^2 * ln(1) - (1/2) * 1] = (1/2) * 4 * ln(2) - 1 + (1/2) * 1 = 2 * ln(2) - 1/2 + 1/2 = 2 * ln(2)

Таким образом, определенный интеграл ∫(x * ln(x)) dx от 1 до 2 равен 2 * ln(2).