Question

Найди все простые числа b и i такие, что b + i = (b – i)³.​

Answer 1

Ответ:

b = 5

i = 3

Пошаговое объяснение:

Необходимо решить уравнение в простых числах:

b+i = (b-i)^3, откуда b-i > 0

Преобразуем уравнение:

(b-i) +2i = (b-i)^3

2i = (b-i)^3 - (b-i)

Рассмотрим общий случай:  r ≠ 2; i≠2

А поскольку числа b и i - простые, то это значит, что они нечетные.

Откуда, число b - i является четным, то есть b-i = 2k, где k - натуральное число.

Таким образом:

2i = (2k)^3 - (2k)

2i = 2k( (2k)^2 - 1)

i = k(4k^2 - 1)

Число i является простым, а значит делится только на 1 и на само себя.

Учитывая, что при натуральном k:  k <4k^2 - 1, то возможен только один вариант:

k = 1

4k^2 - 1 = i

Откуда:

i = 4*1^2 - 1 = 3 - простое число.

b-i = 2k = 2

b = i + 2 = 5 - простое число

То есть видим одно из решений:

i= 3

b = 5

Рассмотрим теперь случай, когда одно из простых чисел b и i равно 2, но поскольку  b>i, то i = 2

2i = (b-i)^3 - (b-i)

4 = (b-2)^3 -(b-2)

b-2 = t - натуральное нечетное число.

t^3 -t - 4 = 0

Откуда t - нечетный делитель числа 4, то есть t =1

1^3 - 1 - 4 ≠ 0

А значит этот вариант отпадает.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение b + i = (b - i)³ и попробуем найти простые числа b и i, которые удовлетворяют этому уравнению.

Перепишем уравнение в следующем виде: b + i = b³ - 3b²i + 3bi² - i³

Подставим x = b и y = -i: x + (-y) = x³ - 3x²(-y) + 3x(-y)² - (-y)³

Это уравнение теперь выглядит следующим образом: x - y = x³ + 3xy² - y³

Теперь мы можем рассмотреть возможные значения x и y, где x и y - целые числа:

1. Если x = 0, то уравнение принимает вид: -y = -y³, что всегда верно, так как (-y)³ = -y³. Это уравнение имеет бесконечно много решений, включая x = 0 и любое целое число для y.

2. Если y = 0, то уравнение принимает вид: x = x³, что также всегда верно, так как x³ равно самому себе. Это уравнение также имеет бесконечно много решений, включая любое целое число для x.

Таким образом, уравнение b + i = (b - i)³ имеет бесконечно много решений, включая простые числа, но оно также имеет решения с любыми целыми числами b и i. Например, одним из решений будет b = 2 и i = 1, так как 2 + 1 = (2 - 1)³.