Question

Исследовать ряд на сходимость ∑ от n=1 до ∞ ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2)

Answer 1

Решение дано в виде фотографии )

Answer 2

Для исследования сходимости данного ряда ∑ от n=1 до ∞ ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2), мы можем использовать различные методы, такие как признаки сравнения, признак Даламбера, признак Коши и признак интеграла. Давайте посмотрим на каждый из этих методов в отдельности.

Признак сравнения

Для применения признака сравнения, нам нужно найти другой ряд, который будет сходящимся или расходящимся, и который можно будет сравнить с исходным рядом. Для этого рассмотрим ряд ∑ от n=1 до ∞ 1/n^2.

По признаку сравнения, если для всех n больше некоторого значения N, выполняется условие a_n <= b_n, где a_n и b_n - соответствующие члены исходного и сравниваемого рядов, и ряд ∑ b_n сходится, то исходный ряд ∑ a_n также сходится.

В данном случае, нам нужно показать, что ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2) <= 1/n^2 для всех n больше некоторого значения N.

Обратите внимание, что ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2) >= 0, поскольку числитель и знаменатель положительны для всех n.

Мы можем оценить числитель следующим образом: ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2) <= ((n^2+1)^1/2)/(n^3)

Далее, используя неравенство ((n^2+1)^1/2)/(n^3) <= 1/n^2, мы получаем: ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2) <= 1/n^2

Таким образом, мы получили сравнимый сходящийся ряд ∑ 1/n^2. Поскольку ряд ∑ 1/n^2 сходится (это ряд, известный как ряд Лейбница), по признаку сравнения, исходный ряд ∑ ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2) также сходится.

Признак Даламбера

Признак Даламбера используется для исследования сходимости рядов, содержащих выражения вида (a_n+1/a_n), где a_n - члены ряда.

Для применения признака Даламбера, мы должны вычислить предел lim (a_n+1/a_n) при n стремящемся к бесконечности. Если этот предел меньше 1, то ряд сходится, если он больше 1, то ряд расходится, и если он равен 1, то признак Даламбера не дает определенного результата.

В нашем случае, a_n = ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2).

Вычислим предел lim (a_n+1/a_n) при n стремящемся к бесконечности: lim (((n+1)^2+1)^1/2*cos^2(n+1))/((n+1)^3+((n+1)+2)^1/2) * ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2)

После упрощения и сокращения, мы получаем: lim ((n+1)^2+1)^1/2 * cos^2(n+1))/(n^2+1)^1/2 * (n^3+(n+2)^1/2)/(n+1)^3+((n+1)+2)^1/2) lim ((n+1)^2+1)^1/2 * cos^2(n+1))/(n^2+1)^1/2 * ((n^3+(n+2)^1/2)/(n+1)^3+((n+1)+2)^1/2) * ((n+1)^3+((n+1)+2)^1/2)/(n^3+(n+2)^1/2)

После дальнейших упрощений, мы получаем: lim ((n+1)^2+1)^1/2 * cos^2(n+1))/(n^2+1)^1/2 * ((n+1)^3+((n+1)+2)^1/2)/(n^3+(n+2)^1/2)

Далее, мы можем применить теорему о пределе произведения, чтобы разделить пределы: lim ((n+1)^2+1)^1/2 * cos^2(n+1))/(n^2+1)^1/2 * lim ((n+1)^3+((n+1)+2)^1/2)/(n^3+(n+2)^1/2)

Вычисляя эти пределы по отдельности, мы получаем: lim ((n+1)^2+1)^1/2 * cos^2(n+1))/(n^2+1)^1/2 = 1 lim ((n+1)^3+((n+1)+2)^1/2)/(n^3+(n+2)^1/2) = 1

Таким образом, предел lim (a_n+1/a_n) равен 1.

В результате, признак Даламбера не дает определенного результата. Мы не можем сказать, сходится ли исходный ряд или расходится.

Признак Коши

Признак Коши используется для исследования сходимости рядов, содержащих выражения вида (a_n)^(1/n), где a_n - члены ряда.

Для применения признака Коши, мы должны вычислить предел lim (a_n)^(1/n) при n стремящемся к бесконечности. Если этот предел меньше 1, то ряд сходится, если он больше 1, то ряд расходится, и если он равен 1, то признак Коши не дает определенного результата.

В нашем случае, a_n = ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2).

Вычислим предел lim (a_n)^(1/n) при n стремящемся к бесконечности: lim (((n^2+1)^1/2*cos^2(n))/(n^3+(n+2)^1/2))^(1/n)

После упрощения, мы получаем: lim (((n^2+1)^1/2*cos^2(n))^(1/n))/((n^3+(n+2)^1/2)^(1/n))

Заметим, что (n^2+1)^1/2*cos^2(n) >= 0 и n^3+(n+2)^1/2 >= 0 для всех n.

Далее, мы можем применить теорему о пределе степени, чтобы разделить пределы: lim ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))^(1/n) / lim (n^3+(n+2)^1/2)^(1/n)

Вычисляя эти пределы по отдельности, мы получаем: lim ((n^2+1)^1/2*cos^2(n))^(1/n) = 1 lim (n^3+(n+2)^1/2)^(1/n) = 1

Таким образом, предел lim (a