Question

Срочно помогите integral 8x+3/(x-2)(x+5) dx

Answer 1

Ответ:

$\frac{19}{7} ln |x - 2| + \frac{37}{7} ln |x + 5| + c$

Пошаговое объяснение:

решение на фото

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить данный интеграл. Для интегрирования данной функции:

$$\int \frac{8x+3}{(x-2)(x+5)} \, dx$$

Для начала разложим дробь на простейшие:

$$\frac{8x+3}{(x-2)(x+5)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+5}$$

Умножим обе стороны на $(x-2)(x+5)$ и сложим дроби:

$$8x+3 = A(x+5) + B(x-2)$$

Раскроем скобки:

$$8x+3 = (A+B)x + 5A - 2B$$

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Сравнивая коэффициенты при $x$, получаем $A+B=8$, а сравнивая свободные члены, получаем $5A-2B=3$.

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и сложим с вторым уравнением:

$$2(A+B) + (5A-2B) = 16 + 3$$

$$7A = 19$$

$$A = \frac{19}{7}$$

Теперь найдем $B$:

$$A + B = 8$$

$$\frac{19}{7} + B = 8$$

$$B = 8 - \frac{19}{7} = \frac{37}{7}$$

Теперь мы можем разложить исходную дробь на простейшие:

$$\frac{8x+3}{(x-2)(x+5)} = \frac{\frac{19}{7}}{x-2} + \frac{\frac{37}{7}}{x+5}$$

Теперь можем проинтегрировать обе части по отдельности:

$$\int \frac{8x+3}{(x-2)(x+5)} \, dx = \int \left(\frac{\frac{19}{7}}{x-2} + \frac{\frac{37}{7}}{x+5}\right) \, dx$$

Интегрируем каждую из дробей по отдельности:

$$\int \frac{\frac{19}{7}}{x-2} \, dx = \frac{19}{7} \ln| x - 2 |$$

$$\int \frac{\frac{37}{7}}{x+5} \, dx = \frac{37}{7} \ln| x + 5 |$$

Таким образом, окончательный ответ:

$$\int \frac{8x+3}{(x-2)(x+5)} \, dx = \frac{19}{7} \ln| x - 2 | + \frac{37}{7} \ln| x + 5 | + C$$

где $C$ - постоянная интеграции.