Question

Коло , вписане у трикутник АВС , дотикається до його сторін у точках М,К і Р. Обчисліть периметр трикутника , якщо АМ=6см, ВК=5см, РС=7см.

Answer 1

В точке касания со сторонами Δ-ка  окружность делит стороны на две части , причем отрезки при одной вершине будут равны:
АМ = АР = 6 см
ВК = МВ = 5 см
РС =КС =7 см
сторона АВ = АМ + МВ =6 + 5 =11 см
сторона ВС = ВК +КС = 5 + 7 = 12 см
сторона АС = АР +РС =  6 +7 = 13 см
 периметр  Р = АВ + ВС + АС = 11 + 12 + 13 = 36 см

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі спочатку потрібно з'ясувати, які властивості має коло, вписане у трикутник.

Властивості кола, вписаного у трикутник:

1. Точки дотику кола до сторін трикутника є точками перпендикулярного перетину сторін трикутника і касательних до кола в цих точках. Іншими словами, лінії, що проходять від центру кола до точок дотику, перпендикулярні до відповідних сторін трикутника.

2. Радіус кола, вписаного у трикутник, є відрізком, що його центр ділить на три частини: одна з частин є відрізком, що його центр ділить сторону трикутника, а дві інші частини є відрізками, що його центр ділить інші дві сторони трикутника.

3. Сума відрізків, які ділить центр кола на сторонах трикутника, є постійною і дорівнює площі трикутника, поділеній на півпериметр: $$ r = \frac{S}{s} $$,

де r - радіус кола, S - площа трикутника, s - півпериметр трикутника.

Тепер, використовуючи ці властивості, ми можемо обчислити периметр трикутника.

Обчислення периметра трикутника:

1. За властивістю 3, нам потрібно обчислити площу трикутника та його півпериметр.

Площа трикутника може бути обчислена за формулою Герона: $$ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $$,

де a, b та c - довжини сторін трикутника, s - півпериметр (s = (a + b + c)/2).

В нашому випадку, a = AM = 6см, b = VK = 5см, c = RC = 7см.

Обчислимо півпериметр: $$ s = \frac{6см + 5см + 7см}{2} = 9см $$.

Тепер, використовуючи значення півпериметра, можемо обчислити площу: $$ S = \sqrt{9см(9см-6см)(9см-5см)(9см-7см)} = \sqrt{9см(3см)(4см)(2см)} = \sqrt{216см^4} = 6\sqrt{6см^2} $$.

2. Тепер ми можемо обчислити радіус кола за властивістю 3: $$ r = \frac{6\sqrt{6см^2}}{9см} = \frac{2\sqrt{6см^2}}{3см} $$.

3. Оскільки точки дотику кола до сторін трикутника є точками перетину сторін трикутника і касательних до кола в цих точках, а кожен кут, утворений такою стороною трикутника та дотичною до кола, є прямим кутом, то сторони трикутника є діаметрами кола. Тому, довжина сторон трикутника дорівнює вдвічі радіусу кола.

В нашому випадку, сторона трикутника АМ = 2r = 2 * (2\sqrt{6см^2}/3см) = 4\sqrt{6см^2}/3см.

Сторона трикутника ВК = 2r = 2 * (2\sqrt{6см^2}/3см) = 4\sqrt{6см^2}/3см.

Сторона трикутника РС = 2r = 2 * (2\sqrt{6см^2}/3см) = 4\sqrt{6см^2}/3см.

4. Тепер, коли ми знаємо довжини сторін трикутника, ми можемо обчислити його периметр: $$ P = АМ + ВК + РС = \frac{4\sqrt{6см^2}}{3см} + \frac{4\sqrt{6см^2}}{3см} + \frac{4\sqrt{6см^2}}{3см} = \frac{12\sqrt{6см^2}}{3см} = 4\sqrt{6см^2} $$.

Отже, периметр трикутника дорівнює 4\sqrt{6см^2}.