Question

Определите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, в которой сторона основания равна 3 см, двугранный угол между боковыми гранями равен 120°.​

Answer 1

Ответ:

Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 1,5 см

Пошаговое объяснение:

Определите высоту правильной четырёхугольной пирамиды, в которой сторона основания равна 3 см, двугранный угол между боковыми гранями равен 120°.

ДАНО: SABCD - правильная четырёхугольная пирамида. АВ = 3 см.

∠((ASD),(CSD))=120°

НАЙТИ: SO - ?

• Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань (основание пирамиды) квадрат, а остальные (боковые) грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Так как пирамида правильная, то:

АВ=ВС=СD=АD=3 см;

Диагональ АС = а√2 = АВ√2= 3√2 см;

ОD=АС/2 = $\frac{3\sqrt{2} }{2}$ см - как половина диагонали квадрата;

Проводим высоты к боковому ребру SD из вершин А и С пирамиды. Так как ΔASD = ΔCSD, то высоты сойдутся в одной точке К. (т.к. ΔАКD=ΔСКD по 1 признаку. КD-общая, АD=СD, ∠АDК=∠СDК)

Итак, АК⊥SD и СК⊥SD. Тогда ∠АКС - линейный угол двугранного угла, по условию ∠АКС=120°.

1) Рассмотрим ΔАКС.

По теореме косинусов находим АК.

АС²=АК²+КС²-2·АК·АС·cos∠AKC

cos∠AKC = cos120° = -1/2, КС=АК, АС=3√2 ⇒

(3√2)²=АК²+АК²-2АК²·(-1/2)

3АК²=18

АК²=6

АК=√6 см

2) Рассмотрим ΔАКD (∠K=90°).

По теореме Пифагора находим катет КD.

КD²= АD²-АК²=3²-(√6)²=9-6=3

КD=√3 см

3) Рассмотрим ΔАSС (∠K=90°).

По теореме Пифагора находим катет SK.

SK²=AS²-AK²

Учитывая, что SK=SD-KD, а AS=SD, получаем:

(SD-KD)²=SD²-АК²

(SD-√3)²=SD²-(√6)²

SD²-2√3·SD+3=SD²-6

-2√3·SD=-9

$SD=\dfrac{9}{2\sqrt{3} } =\dfrac{9\cdot\sqrt{3} }{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} }=\dfrac{3\sqrt{3} }{2}$  cм

3) Рассмотрим ΔSOD (∠О=90°).

По теореме Пифагора находим катет SO.

SO²=SD²-OD²

$SO=\sqrt{ \bigg(\frac{3\sqrt{3} }{2} \bigg)^{2} - \bigg( \frac{3\sqrt{2} }{2} \bigg )^{2}} =\\ \\\\=\sqrt{\dfrac{27}{4} -\dfrac{18}{4} } =\sqrt{\dfrac{9}{4}} =\dfrac{3}{2} =1,5$ см

Высота SO равна 1,5 см

#SPJ5

Answer 2

Чтобы найти высоту правильной четырёхугольной пирамиды, зная сторону основания и угол между боковыми гранями, воспользуемся геометрическими свойствами пирамиды.

Пусть $ABCD$ — основание пирамиды, где $AB = BC = CD = DA = 3 \, \text{см}$, и $P$ — вершина пирамиды. Угол между боковыми гранями $BPC$ и $CPD$ равен $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $PBC$, где сторона $BC$ равна 3 см (сторона основания пирамиды). Угол между боковой гранью и основанием треугольника (угол $BPC$) равен $120^\circ$. Таким образом, у нас есть боковая грань и две стороны основания треугольника.

Мы можем использовать косинусное правило для нахождения высоты $h$ треугольника $PBC$: $h^2 = BC^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2 \cdot \cos(120^\circ)$

Подставим известные значения: $h^2 = 3^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot \cos(120^\circ)$

Вычислим $h^2$: $h^2 = 9 - \frac{9}{4} - \frac{9}{4} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$ $h^2 = 9 - \frac{9}{4} + \frac{9}{8}$ $h^2 = \frac{81}{8}$

Теперь найдем $h$, взяв положительный корень: $h = \sqrt{\frac{81}{8}} = \frac{9}{2\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4} \approx 3.181 \, \text{см}$

Таким образом, высота правильной четырёхугольной пирамиды равна примерно $3.181 \, \text{см}$.