Question

Градусная мера одного из внешних углов прямоугольного треугольника равна 120°. Разность между гипотенузой и меньшим катетом этого треугольника составляет 15 см. Определите длину гипотенузы треугольника. Tom

Answer 1

Ответ: длина гипотенузы равна 30 см

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи используем тригонометрические свойства прямоугольных треугольников.

У нас есть следующая информация:

1. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120°, что означает, что противолежащий этому углу угол внутренний равен 60°.
2. Разность между гипотенузой и меньшим катетом составляет 15 см.

Пусть a - меньший катет, b - больший катет, c - гипотенуза.

Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 60° соотношение между сторонами следующее:

a : b : c = 1 : √3 : 2

Теперь у нас есть разность между гипотенузой и меньшим катетом:

c - a = 15 см

Теперь мы можем выразить a через c:

a = c - 15

Также, используя соотношение для треугольника с углом 60°:

a : b : c = 1 : √3 : 2

Мы знаем, что a = c - 15, поэтому:

(c - 15) : b : c = 1 : √3 : 2

Теперь мы можем найти b, домножив обе стороны на b:

(c - 15) = (b/√3) * 2

Теперь можно выразить b:

b = (c - 15) * √3 / 2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. c - a = 15
2. b = (c - 15) * √3 / 2

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значение гипотенузы c:

1. c - (c - 15) = 15
2. (c - 15) * √3 / 2 = b

Решим первое уравнение:

c - c + 15 = 15

15 = 15

Уравнение верно, что означает, что значение c удовлетворяет первому уравнению. Теперь подставим его во второе уравнение:

(c - 15) * √3 / 2 = (c - 15) * √3 / 2

Уравнение верно для любого значения c, поэтому длина гипотенузы не зависит от значения угла 120° и составляет:

c = c - 15

Решив это уравнение, получим:

c = 15 см

Итак, длина гипотенузы треугольника равна 15 см.