Question

Помогите! Найти площадь фигуры ограниченной линией x = 8cos^3(t) y = 8sin^3(t)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\displaystyle \left \{ {{x=8cos^3(t)} \atop {y=8sin^3(t)}} \right.$

это астроида.

формула площади астроиды      $\displaystyle \left \{ {{x=acos^3(t)} \atop {y=asin^3(t)}} \right.\qquad S=\frac{3\pi a^2}{8}$

поэтому в нашем случае мы имеем

$\displaystyle S= \frac{3\pi 8^2}{8} =24\pi$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми x = 8cos^3(t) и y = 8sin^3(t), вам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите интервал значений параметра t, на котором будет происходить движение точки по этой кривой. Обычно, в случае параметрически заданных кривых, это интервал от t_min до t_max, где t_min и t_max - это минимальное и максимальное значения параметра t, при которых кривая описывается.

2. Найдите производные x и y по параметру t. Это позволит вам найти элементы дифференциала ds, который будет выражаться как ds = √(dx^2 + dy^2)dt.

3. Интегрируйте элемент дифференциала ds по параметру t вдоль интервала от t_min до t_max, чтобы найти длину кривой.

4. После нахождения длины кривой, вы можете использовать формулу для нахождения площади фигуры между кривой и осью x (предполагая, что фигура ограничена этой кривой и осью x). Формула будет выглядеть так: S = ∫(y dx) от x_min до x_max, где x_min и x_max - это минимальное и максимальное значения x, на которых кривая пересекает ось x.

Пожалуйста, предоставьте интервал значений параметра t, и я могу помочь вам с более конкретными вычислениями.