Question

. (2 бали) Катер пройшов 12 км проти течії і 5 км за течією. При цьому він витратив стільки часу, скільки йому було потрібно, якби він ішов 18 км озе-ром. Яка класна НТВидкість катера, яка ривицкість течії річки 3 км/год?​

Answer 1

Пусть х км/ч - собственная скорость катера, тогда (х + 3) км/ч - скорость катера по течению реки, (х - 3) км/ч - скорость катера против течения реки. Уравнение:

12/(х-3) + 5/(х+3) = 18/х

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю (х-3) · (х+3) · х

12 · (х + 3) · х + 5 · (х - 3) · х = 18 · (х - 3) · (х + 3)

12х² + 36х + 5х² - 15х = 18 · (х² - 3²)

17х² + 21х = 18х² - 162

18х² - 17х² - 21х - 162 = 0

х² - 21х - 162 = 0

D = b² - 4ac = (-21)² - 4 · 1 · (-162) = 441 + 648 = 1089

√D = √1089 = 33

х₁ = (21-33)/(2·1) = (-12)/2 = -6 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (21+33)/(2·1) = 54/2 = 27

Відповідь: 27 км/год - власна швидкість катера.

Проверка:

12 : (27 - 3) = 12/24 = 1/2 ч - время движения против течения

5 : (27 + 3) = 5/30 = 1/6 ч - время движения по течению

18 : 27 = 18/27 = 2/3 ч - время движения по озеру

1/2 + 1/6 = 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 ч - общее время движения по реке

Answer 2

Для вирішення цієї задачі спершу знайдемо час, який би потрібно катеру для пройдення 18 км вниз по річці без течії.

Швидкість катера відносно води можна позначити як V, швидкість течії річки - T (3 км/год), і швидкість катера відносно берега - Vr. Ми знаємо, що відстань - це швидкість помножити на час, тобто:

18 км = Vr * t

Тепер ми знаємо, що катер пройшов 12 км проти течії і 5 км за течією. Це можна виразити як:

12 км = (V - T) * t1 (проти течії) 5 км = (V + T) * t2 (за течією)

Ми також знаємо, що загальний час, який катер витратив на подолання цієї відстані, є однаковим:

t = t1 + t2

Тепер ми можемо виразити t1 і t2 з вищезазначених рівнянь:

t1 = 12 км / (V - T) t2 = 5 км / (V + T)

Загальний час t буде:

t = 12 км / (V - T) + 5 км / (V + T)

Тепер ми знаємо, що цей час також дорівнює часу, який би катеру потрібно було для пройдення 18 км без течії:

t = 18 км / Vr

Тепер ми можемо об'єднати обидва рівняння:

18 км / Vr = 12 км / (V - T) + 5 км / (V + T)

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для Vr. Використовуючи числові значення (T = 3 км/год), ми отримаємо:

18 км / Vr = 12 км / (V - 3) + 5 км / (V + 3)

Після спрощення отримуємо:

18 км / Vr = (12(V + 3) + 5(V - 3)) / (V^2 - 9)

Розкриваємо дужки:

18 км / Vr = (12V + 36 + 5V - 15) / (V^2 - 9)

18 км / Vr = (17V + 21) / (V^2 - 9)

Тепер можемо помножити Vr на обидва боки рівняння:

Vr = (18 км * (V^2 - 9)) / (17V + 21)

Тепер ми можемо обчислити Vr за допомогою цього рівняння для будь-якого значення V (швидкість катера відносно води). Наприклад, для V = 15 км/год:

Vr = (18 км * ((15 км/год)^2 - 9)) / (17 * 15 км/год + 21)

Vr = (18 км * (225 км^2/год^2 - 9)) / (255 км/год + 21)

Vr = (18 км * (225 - 9)) / (276 км/год)

Vr = (18 км * 216) / 276 км/год

Vr = 14.04 км/год (приблизно)

Отже, класна швидкість катера відносно води (без течії) приблизно 14.04 км/год.