Question

Помогите решить дифференциальное уравнение xydy−3dx=0

Answer 1

xydy – 3dx = 0 ⇒ xydy = 3dx ⇒ (разделяем переменные) ⇒ ydy = $\frac{3dx}{x}$

⇒ ∫ydy = ∫$\frac{3dx}{x}$ ⇒ $\frac{y^{2} }{2}$ = 3ln|x| + C ⇒ F(x,y) = $\frac{y^{2} }{2}$ – 3ln|x| + C = 0 – общий интеграл,

где С – числовая константа.

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

xy dy - 3 dx = 0

Сначала переносим все члены с y на одну сторону уравнения и все члены с x на другую сторону:

xy dy = 3 dx

Теперь разделим обе стороны на xy и dx:

(dy/y) = (3/x) dx

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫(3/x) dx

Интеграл левой стороны даст ln(|y|), а интеграл правой стороны даст 3ln(|x|) + C, где C - произвольная постоянная интеграции.

Теперь мы получаем:

ln(|y|) = 3ln(|x|) + C

Теперь возведем обе стороны уравнения в экспоненту:

|y| = e^(3ln(|x|) + C)

Заметьте, что e^(3ln(|x|) + C) может быть переписано как e^C * (e^(3ln(|x|))). Так как e^C - это также константа, обозначим её как K:

|y| = K * e^(3ln(|x|))

Теперь мы можем учесть абсолютные значения. Если y не равно 0, то:

y = K * e^(3ln(|x|))

Теперь воспользуемся свойствами логарифмов:

y = K * e^ln(|x|^3)

Используя свойство экспоненты e^ln(a) = a:

y = K * |x|^3

Теперь, если y = 0, то это также решение уравнения.

Итак, общее решение уравнения xy dy - 3 dx = 0:

y = K * |x|^3

где K - произвольная постоянная.