Question

Два кола з радіусами 4 см і 6 см дотика- ються зовні. Їх спільна дотична, яка не прохо- дить через точку дотику кіл, перетинає лінію центрів у точці А. Знайдіть відстані від точ- ки А до центрів кіл.​

Answer 1

Проведём перпендикуляры из центров О1 и О2 окружностей R=6 и R=4 к общей касательной соответственно в точки С и В.

Из точки В проведём отрезок, равный и параллельный О1О2.

Получим 2 подобных треугольника, треугольник ВО2А в 2 раза больше, поэтому О2А = 2*10 = 20.

Ответ: АО2 = 20 + 4 = 24 см, АО1 = 20 + 10 = 30 см.

Answer 2

Для знаходження відстані від точки А до центрів кіл, ми можемо скористатися принципом подібності трикутників. Для цього розглянемо трикутники, утворені центрами кіл, точкою А та точками дотику.

Спочатку ми можемо зобразити цю ситуацію:

bashCopy code
   B
  /|\
 / | \
/__|__\ 
  / \
 /___\
   A

Де B - центр більшого кола (радіус 6 см), A - точка дотику, і C - центр меншого кола (радіус 4 см).

Тепер давайте позначимо відстані від точки А до центрів кіл як x (до центра меншого кола) і y (до центра більшого кола).

Ми можемо побачити, що трикутники ABC і ABD подібні (оскільки вони мають однакові кути при вершині A), і ми можемо скласти відповідні пропорції:

scssCopy code
x / 4 = (x + y) / 6

Тепер ми можемо розв'язати цю рівність для x:

javaCopy code
6x = 4(x + y)
6x = 4x + 4y
2x = 4y
x = 2y

Тепер ми знаємо, що x дорівнює 2y.

Тепер ми можемо використовувати теорему Піфагора для трикутника ABC, щоб знайти значення y:

scssCopy code
(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2
(6)^2 = (2y + 4)^2 + (4)^2
36 = 4y^2 + 16y + 16 + 16
4y^2 + 16y - 4 = 0

Тепер розв'яжемо це квадратне рівняння для y. Ми можемо поділити обидві сторони на 4, щоб спростити його:

Copy code
y^2 + 4y - 1 = 0

Застосуємо квадратний корінь для знаходження значення y:

makefileCopy code
y = (-4 ± √(4^2 - 4*1*(-1))) / (2*1)
y = (-4 ± √(16 + 4)) / 2
y = (-4 ± √20) / 2
y = (-4 ± 2√5) / 2
y = -2 ± √5

Оскільки відстань не може бути від'ємною, ми вибираємо позитивне значення:

makefileCopy code
y = -2 + √5

Тепер, ми можемо знайти значення x, використовуючи відношення x = 2y:

makefileCopy code
x = 2 * (-2 + √5)
x = -4 + 2√5

Отже, відстань від точки А до центра меншого кола x дорівнює -4 + 2√5 см, а відстань від точки А до центра більшого кола y дорівнює -2 + √5 см.