Question

Найти асимптоты кривых y= 2x²/x-1​

Answer 1

Асимптоты кривой ( это гипербола) y= 2x²/x-1​.

Вертикальная асимптота – это прямая х =1, определена как точка разрыва функции.

 

Горизонтальные асимптоты графика функции:  

Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+∞ и x->-∞. Соответствующие пределы находим:  

lim (2x^2/(x-1)), x->+∞ = ∞, значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

lim (2x^2/(x-1)), x->-∞ = -∞, значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.

Наклонные асимптоты графика функции:  

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при  lim(x→∞) (kx + b - f(x)).

Находим коэффициент k:

k=lim┬(x→∞)⁡〖〖2x〗^2/(x-1)x=lim┬(x→∞)⁡〖2x/(x-1)=(2x/x)/(x/x-1/x)=2/(1-0)=2〗.〗

Находим коэффициент b:  

b=lim┬(x→∞)⁡〖〖2x〗^2/(x-1)-2*x=lim┬(x→∞)⁡〖(〖2x〗^2-〖2x〗^2+2x)/(x-1)=2x/(x-1)=(2x/x)/(x/x-1/x)=2/(1-0)=2〗.〗

Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = 2x + 2.

Answer 2

Чтобы найти асимптоты функции $y = \frac{2x^2}{x-1}$, мы должны рассмотреть, как функция ведет себя при стремлении $x$ к бесконечности или к точкам разрыва.

1. Горизонтальная асимптота (при $x \to \infty$):

   Посмотрим, что происходит, когда $x$ стремится к бесконечности:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2}{x \left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{1 - \frac{1}{x}} = \infty$$

   Это означает, что при $x \to \infty$ функция не имеет горизонтальной асимптоты.

2. Вертикальная асимптота (при $x \to 1$):

   Функция имеет разрыв в знаменателе при $x = 1$, поэтому мы можем ожидать вертикальную асимптоту в этой точке. Давайте разложим функцию в ряд Тейлора в окрестности $x = 1$:

   $$f(x) = \frac{2x^2}{x-1} = \frac{2(x-1+1)^2}{x-1} = \frac{2(x-1)^2 + 4(x-1) + 2}{x-1} = 2(x-1) + 4 + \frac{2}{x-1}$$

   При $x \to 1$ второе и третье слагаемые стремятся к нулю, поэтому останется только $2(x-1)$, что и задает вертикальную асимптоту $x = 1$.

Таким образом, у функции $y = \frac{2x^2}{x-1}$ есть вертикальная асимптота $x = 1$, но нет горизонтальной асимптоты.