Question

Из книги выпало несколько идущих подряд листов. Номер последней страницы перед выпавшими листами 324, номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке. Сколько листов выпало?​

Answer 1

Ответ:

99 ......................

Answer 2

423 - 324 = 99

Ответ:  99

Answer 3

Давайте обозначим номера выпавших листов как $x$, $x + 1$, и так далее, где $x$ - номер первого выпавшего листа.

Так как номер последней страницы перед выпавшими листами 324, а номер первой страницы после выпавших листов записывается теми же цифрами, но в другом порядке, то номер первой страницы после выпавших листов можно записать как $y$, где $y$ - число, полученное из цифр $x$ в обратном порядке.

Нам дано, что 324 - последняя страница перед выпавшими листами. Это означает, что $324 - x$ - последняя страница перед первым выпавшим листом. Поскольку листы идут подряд, то $324 - x$ также является последней страницей перед вторым выпавшим листом, и так далее.

Таким образом, мы имеем уравнение:

$324 - x = y + (y + 1) + (y + 2) + \ldots$

Теперь давайте найдем значение $y$. Из условия известно, что $y$ - число, полученное из цифр $x$ в обратном порядке. Поскольку $y$ - это трехзначное число (так как 324 - трехзначное), то

$y = 100a + 10b + c$

где $a$, $b$, и $c$ - цифры числа $y$.

Так как $y$ получается из $x$ в обратном порядке, то

$y = 100c + 10b + a$

Теперь мы можем записать уравнение:

$324 - x = 100a + 10b + c + (100c + 10b + a) + (100c + 10b + a + 1) + \ldots$

Сгруппируем переменные:

$324 - x = (100a + 100c + 100c + \ldots) + (10b + 10b + \ldots) + (c + a + a + \ldots) + (1 + 1 + \ldots)$

Обратите внимание, что суммы в скобках - это арифметические прогрессии. Выразим их:

$324 - x = 100(a + c + c + \ldots) + 10(b + b + \ldots) + (c + a + a + \ldots) + (1 + 1 + \ldots)$

Теперь заметим, что сумма в первой скобке - это просто $100$ умножить на сумму цифр числа $y$. Аналогично, сумма во второй скобке - это $10$ умножить на сумму цифр числа $y$. Сумма в третьей скобке - это сумма цифр числа $y$. И сумма в четвертой скобке - это просто количество цифр в числе $y$, то есть $n$.

Теперь уравнение принимает вид:

$324 - x = 100 \cdot \text{сумма цифр } y + 10 \cdot \text{сумма цифр } y + \text{сумма цифр } y + n$

Следовательно,

$324 - x = 111 \cdot \text{сумма цифр } y + n$

Теперь, так как $x$ и $y$ - это трехзначные числа, то $n = 3$. Подставим это значение и решим уравнение:

$324 - x = 111 \cdot \text{сумма цифр } y + 3$

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить для $x$, найдя сумму цифр числа $y$. После нахождения $x$, мы можем легко определить, сколько листов выпало.