Question

Доказать, что если p - простое число, не меньше 3, то p^2-1 делится нацело на 24

Answer 1

р - простое

тогда р+1 делится на 2 и р-1 делится на 2; из двух следующих друг за другом четных чисел одно делится на 4; значит, р-1 или р+1 делится на 4, а оставшееся на 2. их произведение делится на 8

также из тройки следующих друг за другом целых чисел одно делится на 3 => p-1 или р+1 делится на 3

т.к. (р-1)(р+1) делится на 3 и на 8, то делится и на 24

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы можем воспользоваться фактом, что любое простое число, не меньше 3, можно представить в виде 6n ± 1, где n - целое число. Это следует из того, что все простые числа, кроме 2 и 3, имеют вид 6n ± 1.

Теперь давайте докажем, что если p - простое число, не меньше 3, то p^2-1 делится нацело на 24.

Итак, пусть p = 6n ± 1, где n - целое число.

Тогда p^2 = (6n ± 1)^2 = 36n^2 ± 12n + 1.

Теперь выразим p^2 - 1 в виде произведения: p^2 - 1 = (36n^2 ± 12n + 1) - 1 = 36n^2 ± 12n = 12n(3n ± 1).

Мы видим, что 12n является множителем выражения p^2 - 1. Теперь докажем, что 3n ± 1 также является множителем.

Если n - четное число, то 3n - это четное число, и 3n ± 1 - нечетное число. Если же n - нечетное число, то 3n - нечетное число, и 3n ± 1 - четное число.

Таким образом, мы можем заключить, что p^2-1 представляет собой произведение трех последовательных чисел: 12n, 3n - 1 и 3n + 1.

Поскольку среди этих трех чисел обязательно найдется как минимум одно, кратное трем и как минимум одно, кратное четырем, то произведение этих чисел делится на 24.

Таким образом, мы доказали, что если p - простое число, не меньше 3, то p^2-1 делится нацело на 24.