Question

Доказать что сумма квадратов четырех последовательных чисел делится на 2​

Answer 1

n-1, n, n+1, n+2 - четыре последовательных числа.

Найдём сумму их квадратов:

(n-1)²+n²+(n+1)²+(n+2)²=n²-2n+1+n²+n²+2n+1+n²+4n+4=4n²+4n+6=

Вынесем общий знаменатель за скобки, получим

=2*(2n²+2n+3)

Итак, полученное выражение можно представить в виде произведения. Один из множителей в полученном произведении равен 2, следовательно, данное произведение делится на 2. Значит и исходное выражение (сумма квадратов четырёх последовательных чисел) делится на 2.

Answer 2

Давайте обозначим четыре последовательных числа как n, n+1, n+2 и n+3, где n - это некоторое целое число.

Теперь давайте выразим сумму квадратов этих четырех чисел:

Сумма квадратов = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2

Для начала раскроем скобки во всех слагаемых:

Сумма квадратов = n^2 + (n^2 + 2n + 1) + (n^2 + 4n + 4) + (n^2 + 6n + 9)

Теперь сложим все члены вместе:

Сумма квадратов = 4n^2 + 12n + 14

Теперь давайте рассмотрим это выражение по модулю 2. Если оно делится на 2, то оно делится на 2 как целое число.

Сначала рассмотрим каждый член по модулю 2:

• 4n^2 (по модулю 2) = 0, так как 4 делится на 2.
• 12n (по модулю 2) = 0, так как 12 делится на 2.
• 14 (по модулю 2) = 0, так как 14 делится на 2.

Теперь сложим все эти результаты:

0 + 0 + 0 = 0

Таким образом, сумма квадратов четырех последовательных чисел n, n+1, n+2 и n+3 делится на 2.