Question

В тетраэдре ABCD точки М, К и Р— середины ребер AB, BD и BC. Все равны 2 см. Докажите, что плоскость МКР параллельна плоскости ACD, и найдите площадь треугольника MKP.

Answer 1

Ответ:      S ΔMKP = √3/4 см².

Пошаговое объяснение:

    МК - середня лінія ΔABD ,  МP - середня лінія ΔABC ,  PК - середня лінія ΔCBD , тому MK║AD , MP║AC  i за ознакою паралельності двох

площин  пл. (MKP)║пл. (ACD) .  Доведено .

      Крім того , МК = МР = КР = 1/2 АС = 1/2 * 2 = 1 ( см ) , тому площа

S ΔMKP = MP²√3/4 = ( 1² * √3 )/4 = √3/4 ( см² ) ;      S ΔMKP = √3/4 см².

Answer 2

Для начала, давайте докажем, что плоскость МКР параллельна плоскости ACD.

Поскольку М, К и Р - это середины ребер AB, BD и BC соответственно, мы можем использовать свойство средней линии в треугольниках. Средняя линия в треугольнике параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Таким образом: MK = 1/2 * AB = 1/2 * 2 см = 1 см, КР = 1/2 * BD = 1/2 * 2 см = 1 см.

Теперь рассмотрим треугольник ACD и треугольник MKP. Мы знаем, что MK = 1 см и КР = 1 см.

Теперь мы видим, что стороны треугольника MKP пропорциональны сторонам треугольника ACD в соответствующих местах. Это означает, что угол МКР равен углу ACD, так как противолежащие стороны пропорциональных треугольников соответственно равны.

Следовательно, плоскость МКР параллельна плоскости ACD.

Теперь давайте найдем площадь треугольника MKP. Для этого мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, используя стороны MK и КР, а также угол МКР:

Площадь треугольника MKP = (1/2) * MK * КР * sin(МКР).

Мы уже знаем, что MK = 1 см, КР = 1 см, и угол МКР равен углу ACD. Таким образом:

Площадь треугольника MKP = (1/2) * 1 см * 1 см * sin(ACD).

Осталось только выразить sin(ACD). Мы знаем, что угол ACD равен углу BCD, так как М, К и Р - середины соответствующих сторон. И угол BCD равен половине угла в вершине B. Поскольку угол в вершине B равен 360 градусов минус сумма углов ABD и BCD (по свойству углов в треугольнике), и мы знаем, что ABD и BCD равны 180 градусов каждый (так как BD - это диаметр окружности, вписанной в треугольник ABC), то угол в вершине B равен 360 градусов - (180 градусов + 180 градусов) = 0 градусов. Таким образом, sin(ACD) = sin(0 градусов) = 0.

Теперь мы можем вычислить площадь треугольника MKP:

Площадь треугольника MKP = (1/2) * 1 см * 1 см * sin(ACD) = (1/2) * 1 см * 1 см * 0 = 0 квадратных см.

Итак, площадь треугольника MKP равна 0 квадратных см.