Question

Різниця двох сторін трикутника дорівнює 5 см, а кут між ними 60⁰. Знайдіть периметр трикутника, якщо його третя сторона дорівнює 7 см.

Answer 1

одна сторона х см, другая (х+5) см, т.к. разность равна х+5-х=5/см/; угол между этими сторонами 60°;cos60°=0.5; третья сторона 7 см.

по теореме косинусов:

7²=х²+(х+5)²-2*х*(х+5)*cos60°,

49=х²+х²+10х+25-2*х²*0.5-(2х*5)*0.5,

х²+5х-24=0, По Виету х=-8 -∅, т.к. не может быть сторона отрицательной. х=3, значит, одна сторона 3см, другая 3+5=8/см/, третья 7 см, тогда периметр треугольника равен 7+3+8=18/см/

Answer 2

Давайте розв'яжемо цю задачу за допомогою теореми косинусів.

Позначимо сторони трикутника наступним чином:

• Перша сторона: $a$ (відома)
• Друга сторона: $b$ (відома)
• Третя сторона: $c = 7 \, \text{см}$ (відома)
• Кут між першою і другою стороною: $A = 60^\circ$ (відомий)

За теоремою косинусів, ми маємо наступну формулу:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos A$

Ми шукаємо периметр трикутника, який обчислюється як сума всіх сторін: $P = a + b + c$.

Знаючи кут $A$ та різницю сторін $b - a = 5 \, \text{см}$, ми можемо виразити сторону $b$ через сторону $a$:

$b = a + 5$

Тепер, підставивши це в формулу теореми косинусів, отримаємо:

$49 = a^2 + (a + 5)^2 - 2a(a + 5) \cos 60^\circ$

Розгортаємо та спрощуємо це рівняння:

$49 = a^2 + a^2 + 10a + 25 - a(a + 5) \cdot \frac{1}{2}$ $49 = 2a^2 + 10a + 25 - \frac{a^2}{2} - \frac{5a}{2}$ $98 = 4a^2 + 20a + 50 - a^2 - 5a$ $3a^2 + 15a - 48 = 0$

Розв'яжемо це квадратне рівняння для знаходження значення $a$:

$a^2 + 5a - 16 = 0$

Розкладаємо на множники:

$(a + 8)(a - 2) = 0$

Таким чином, маємо два можливих значення для $a$: $a_1 = -8$ (не можливий у контексті задачі) та $a_2 = 2$.

Оскільки сторона $a$ не може мати від'ємне значення, ми обираємо $a = 2 \, \text{см}$. Тоді $b = a + 5 = 7 \, \text{см}$.

Отже, периметр трикутника:

$P = a + b + c = 2 \, \text{см} + 7 \, \text{см} + 7 \, \text{см} = 16 \, \text{см}$