Question

Нехай фігура обмежена прямими у=3/4 х х=4 і віссю 0х, обертаеться навколо осі Ох. Одержане тіло обертання-конус Його об’єм буде дорівнювати 6Пі, 6, 12Пі чи 12 куб.од.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для знаходження об'єму конуса, який утворюється обертанням фігури, необхідно спочатку знайти площу обмеженої фігури, а потім використати формулу об'єму конуса.

За умовою, фігура обмежена прямими у = (3/4)x та x = 4, та вона обертається навколо вісі Ox. Ця фігура обмежена паралельними прямими та виглядає як трикутник. Ми можемо знайти його площу, обчисливши інтеграл від 0 до 4 функції у = (3/4)x, який представляє площу під графіком цієї функції:

$S = \int_0^4 \frac{3}{4}x \, dx$

Проведемо обчислення:

$S = \frac{3}{4} \int_0^4 x \, dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}x^2 \Bigg|_0^4 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}(4^2 - 0^2) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot 16 = 6$

Отже, площа цієї фігури дорівнює 6 квадратним одиницям.

Тепер, коли ми знайшли площу цієї фігури, можемо використати її для обчислення об'єму конуса. Об'єм конуса обчислюється за формулою:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h$

де S - площа основи конуса, а h - висота конуса.

З попередніх обчислень ми знаємо, що S = 6. Тепер нам потрібно знайти висоту конуса h.

Висота конуса дорівнює відстані від вершини конуса (точка, в якій обертається фігура) до основи. В даному випадку, вершина конуса буде знаходитися на вісі Ox, тобто в точці (4, 0).

Висота h конуса дорівнює відстані від цієї точки до прямої у = (3/4)x. Ми можемо використовувати формулу відстані між точкою (x0, y0) та прямою Ax + By + C = 0:

$h = \frac{|Ax0 + By0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

У нашому випадку A = -3/4, B = 1 і C = 0. Точка (x0, y0) = (4, 0).

$h = \frac{|(-3/4) * 4 + 1 * 0 + 0|}{\sqrt{(-3/4)^2 + 1^2}} = \frac{3}{4}$

Отже, висота конуса h дорівнює 3/4.

Тепер ми можемо обчислити об'єм конуса:

$V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot \frac{3}{4} = 2$

Отже, об'єм конуса, який утворюється обертанням цієї фігури навколо вісі Ox, дорівнює 2 кубічним одиницям.