Question

Сумма второго и четвертого членов арифметической прогрессии равна 16, а произведение первого и пятого членов ее равно 60 Найти первый член и разность этой прогрессии.

Answer 1

Ответ:

$a_{1}=6 \ , \ d=1 \ ; \quad a_{1}=10 \ , \ d=-1 \ ;$

Пошаговое объяснение:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d;$

$a_{2}=a_{1}+d; \quad a_{4}=a_{1}+3d; \quad a_{5}=a_{1}+4d;$

$a_{2}+a_{4}=a_{1}+d+a_{1}+3d=2a_{1}+4d=16;$

$a_{1}(a_{1}+4d)=60;$

$\displaystyle \left \{ {{2a_{1}+4d=16} \atop {a_{1}(a_{1}+4d)=60}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}+2d=8} \atop {a_{1}(a_{1}+4d)=60}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=8-2d} \atop {(8-2d)(8-2d+4d)=60}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=8-2d} \atop {(8-2d)(8+2d)=60}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=8-2d} \atop {64-4d^{2}=60}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=8-2d} \atop {4d^{2}=4}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=8-2d} \atop {d^{2}=1}} \right. \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=8-2d} \atop {d=\pm 1}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a_{1}=6} \atop {d=1}} \right. \quad \vee \quad \left \{ {{a_{1}=10} \atop {d=-1}} \right. ;$

V означает "или".

Проверка:

$a_{2}=6+1=7; \quad a_{4}=6+3 \cdot 1=9; \quad a_{5}=6+4 \cdot 1=10;$

$a_{2}+a_{4}=7+9=16; \quad a_{1} \cdot a_{5}=6 \cdot 10=60;$

$a_{2}=10+(-1)=9; \quad a_{4}=10+3 \cdot (-1)=7; \quad a_{5}=10+4 \cdot (-1)=6;$

$a_{2}+a_{4}=9+7=16; \quad a_{1} \cdot a_{5}=10 \cdot 6=60;$

Каждая из пар удовлетворяет условию задачи.

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a" и разность между членами как "d". Тогда:

Второй член: a + d Четвертый член: a + 3d Пятый член: a + 4d

Мы знаем, что сумма второго и четвертого членов равна 16, поэтому:

(a + d) + (a + 3d) = 16

Также мы знаем, что произведение первого и пятого членов равно 60, поэтому:

a * (a + 4d) = 60

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. (a + d) + (a + 3d) = 16
2. a * (a + 4d) = 60

Давайте решим эту систему методом подстановки. Сначала решим первое уравнение на "a":

2a + 4d = 16 2a = 16 - 4d a = 8 - 2d

Теперь подставим это значение "a" во второе уравнение:

(8 - 2d) * (8 - 2d + 4d) = 60

Упростим уравнение:

(8 - 2d) * (8 + 2d) = 60

Раскроем скобки:

(8^2 - (2d)^2) = 60

64 - 4d^2 = 60

Теперь выразим "d^2":

4d^2 = 64 - 60 4d^2 = 4

d^2 = 4 d = ±2

Таким образом, у нас есть два возможных значения разности "d": d = 2 и d = -2.

Теперь найдем соответствующие значения для "a" с использованием уравнения a = 8 - 2d:

1. Для d = 2: a = 8 - 2 * 2 = 8 - 4 = 4

2. Для d = -2: a = 8 - 2 * (-2) = 8 + 4 = 12

Итак, первый член арифметической прогрессии может быть равен 4 или 12, а разность может быть равна 2 или -2.