Question

Знайдіть первісну функції f(x)=4x^3-6x+1, графік якої проходить через точку А (-1;2)

Answer 1

Ответ:

решение смотри на фотографии

Answer 2

Щоб знайти первісну функцію $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$, нам потрібно обчислити визначений інтеграл цієї функції. Формула для знаходження первісної функції $F(x)$ виглядає так:

$F(x) = \int f(x) dx$

Де $F(x)$ - первісна функція $f(x)$, а $dx$ позначає диференціал змінної $x$. Тепер обчислимо інтеграл для даної функції:

$F(x) = \int (4x^3 - 6x + 1) dx$

Розділимо цей інтеграл на окремі частини для кожного доданка:

$F(x) = \int 4x^3 dx - \int 6x dx + \int 1 dx$

Тепер обчислимо кожен з цих інтегралів окремо:

1. $\int 4x^3 dx$:

$= 4 \int x^3 dx$

Застосуємо формулу для інтегралу степеневої функції:

$= 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C_1$

2. $\int -6x dx$:

$= -6 \int x dx$

Знову застосуємо формулу для інтегралу степеневої функції:

$= -6 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2$

3. $\int 1 dx$:

$= x + C_3$

Тепер додамо всі ці інтеграли разом і позначимо константу інтеграції як $C$:

$F(x) = \frac{x^4}{4} - 3x^2 + x + C$

Тепер, коли ми знайшли первісну функцію $F(x)$, ми можемо знайти її значення в точці $A(-1, 2)$. Підставимо $x = -1$ в $F(x)$:

$F(-1) = \frac{(-1)^4}{4} - 3(-1)^2 + (-1) + C$ $F(-1) = \frac{1}{4} - 3 + (-1) + C$ $F(-1) = -\frac{11}{4} + C$

Ми знаємо, що функція $F(x)$ проходить через точку $A(-1, 2)$, тобто $F(-1) = 2$. З цього отримуємо рівняння:

$-\frac{11}{4} + C = 2$

Тепер розв'яжемо це рівняння для знаходження константи $C$:

$C = 2 + \frac{11}{4}$ $C = \frac{19}{4}$

Отже, первісна функція $f(x) = 4x^3 - 6x + 1$ з точкою $A(-1, 2)$ має вигляд:

$F(x) = \frac{x^4}{4} - 3x^2 + x + \frac{19}{4}$