Question

Діагональ рівнобічної трапеції ділить висоту, проведену з вершини тупого кута, на відрізки завдовжки 5 і 4 см, а бічна сторона трапеції дорівнює її менший основі. Знайдіть площу трапеції

Answer 1

Відповідь:

S = 243 см²

Покрокове пояснення:

Дано:

АВСD - рівнобічна трапеція

BC║AD;  

AB = BC = CD;

BK⊥AD;  

BL = 5 см; LE = 4 см

Розв"язок :

Формула площі трапеції :

$\displaystyle S = \frac{a+b}{2}*h$

в нашому випадку :

$\displaystyle S = \frac{BC +AD}{2}*BE$

Нам потрібно знайти ВС та AD.

Припустимо AB = BC = CD = х.

∠ALE = ∠CLB  яквертикальні.

∠LBC = ∠AEL = 90° оскільки ΔAEL и ΔLBC - прямокутні.

Отже ΔALE подібен до  ΔBLC за першою ознаю подібності ( за двома кутами).

Тоді :

$\displaystyle\frac{LE}{LB}=\frac{AE}{BC}$

звідки :

$\displaystyle AE = \frac{LE *BC}{LB}=\frac{4*x}{5}=\frac{4}{5}x$

Оскільки ВЕ - висота , то ΔАВЕ . Скористаємося т. Піфагора і знайдемо  АВ

АВ² = ВЕ² + АЕ²

$\displaystyle x^{2} = ( 5+4)^{2} +(\frac{4}{5}x)^2\\ \\ x^2=9^2+\frac{16}{25}x^{2} \\ \\ x^2-\frac{16}{25}x^{2} =81\\ \\ \frac{9}{25}x^{2} =81\\ \\ x^{2} =81 :\frac{9}{25}\\ \\ x^{2} =81 * \frac{25}{9}\\ \\x^{2} =9*25\\ \\x=3*5=15$

Маємо AB = BC = CD = 15 см, тоді

АЕ = 4/5 * 15 =4*3= 12 см

Знайдемо AD

AD = 2* AE + BC = 2*12 + 15 = 24+15 = 39 см

Можемо знайти площу трапеції:

$></p> <p><strong>S = 243 см²</strong></p> </div> <div style=$

Answer 2

Давайте позначимо дані:

1. Нехай ABCD - рівнобічна трапеція, де AB - більша основа, і CD - менша основа.

2. Нехай H - висота трапеції, яка проведена з вершини тупого кута (напрямлена перпендикулярно до основи AB).

3. Нехай AD = x - діагональ трапеції.

4. Згідно з умовою задачі, діагональ ділить висоту H на два відрізки завдовжки 5 см і 4 см. Тобто, AH = 5 см і HC = 4 см.

5. Зазначено, що бічна сторона трапеції дорівнює її меншій основі, тобто BC = CD.

Зараз ми можемо використовувати подібність трикутників, щоб розв'язати цю задачу.

Оскільки трапеція ABCD рівнобічна, то кути при основах AB і CD дорівнюють 60 градусів.

Ми маємо два подібних трикутники: AHB і CHD.

За подібністю трикутників можемо записати:

$\frac{AH}{HC} = \frac{AB}{CD}$

$\frac{5 \, \text{см}}{4 \, \text{см}} = \frac{AB}{CD}$

Отже,

$\frac{5}{4} = \frac{AB}{CD}$

Тепер ми знаємо, що відношення сторін AB і CD дорівнює 5/4.

Також, ми можемо використовувати властивість рівнобічної трапеції, що головні діагоналі розділяються відношенням сторін основ: $\frac{AD}{BC} = \frac{AB}{CD}$

Знаючи, що BC = CD, ми отримуємо:

$\frac{AD}{CD} = \frac{AB}{CD}$

Отже,

$\frac{AD}{CD} = \frac{5}{4}$

Тепер ми можемо знайти вираз для AD:

$AD = \frac{5}{4} \cdot CD$

А також вираз для H (за визначенням висоти):

$H = AH + HC = 5 \, \text{см} + 4 \, \text{см} = 9 \, \text{см}$

Тепер ми можемо обчислити площу трапеції за формулою:

$S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot H$

Знаючи, що AB = 5/4 CD і H = 9 см, підставимо ці значення:

$S = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{5}{4} CD + CD\right) \cdot 9 \, \text{см}$

$S = \frac{9}{2} \cdot \left(\frac{9}{4} CD\right) \, \text{см}$

$S = \frac{81}{8} CD \, \text{см}^2$

Тепер нам потрібно знайти значення CD. Ми вже маємо вираз для AD:

$AD = \frac{5}{4} \cdot CD$

Знаючи, що CD = 4 см (як зазначено в умові задачі), ми можемо знайти AD:

$AD = \frac{5}{4} \cdot 4 \, \text{см} = 5 \, \text{см}$

Тепер ми можемо підставити це значення назад у формулу для площі:

$S = \frac{81}{8} \cdot 4 \, \text{см}^2$

$S = \frac{324}{8} \, \text{см}^2$

$S = 40.5 \, \text{см}^2$

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює 40.5 квадратним сантиметрам.