Question

Центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на більшій основі. Основи дорівнюють 28 і 100 см. Знайдіть відрізки, на які ділить діагональ трапеції висоту, що проведена з вершини тупого кута.

Answer 1

Доброго вечора.

Відповідь: 21 см, 27 см.

Розв'язання завдання додаю.

Answer 2

Ответ:

Рассмотрим трапецию ABCD (AD>BC) из условия. Проведём высоту BL и CM из тупых углов соответственно. Отрезки DM и LA равны и так как трапеция равнобедренная находятся как полуразность оснований (100-28)/2 = 36. Пусть O - центр описанной окружности. Тогда AO=OD=BO=OC как радиусы и равны по 50. Угол CAD в два раза меньше угла COD как вписанный опирающийся на ту же дугу, что и центральный. Пусть угол COD 2 альфа, тогда  $\cos{2\alpha}=\frac{CM}{OL}$. Отрезок OL это OL=OD-DM= 50-36=14. Тогда $\cos{2\alpha}=\frac{14}{50} \Longleftrightarrow 2\cos^2{\alpha}-1=\frac{14}{50} \Longleftrightarrow \cos^2{\alpha}=\frac{64}{100}, \ \tan^2{\alpha}+1=\frac{1}{\cos^2{\alpha}} \Longrightarrow$ $\tan^2{\alpha}=\frac{36}{64}$. Так как альфа у нас острый, тогда $\tan{\alpha}=\frac{HL}{AL}=\frac{6}{8}$ (точка H - точка пересечения высоты и диагонали трапеции). Тогда, так как AL=36, получим $HL=27, BH=BL-LH=\sqrt{BO^2-LO^2}-27=48-27=21$
Ответ: на отрезки равные 27 и 21 соответственно.

Answer 3

Для розв'язання цієї задачі використаємо властивість рівнобічної трапеції, згідно з якою центр кола, описаного навколо рівнобічної трапеції, лежить на більшій основі.

Позначимо основи трапеції як a = 100 см (більша основа) і b = 28 см (менша основа).

Також відрізок, на який ділить діагональ трапеції висоту, позначимо як x.

Застосуємо теорему Піфагора до трикутника, утвореного діагоналлю трапеції, висотою і півосновою:

x^2 = (a/2)^2 - (b/2)^2

x^2 = (100/2)^2 - (28/2)^2

x^2 = 50^2 - 14^2

x^2 = 2500 - 196

x^2 = 2304

x = √2304

x = 48

Таким чином, відрізок, на який ділить діагональ трапеції висоту, що проведена з вершини тупого кута, дорівнює 48 см.