Question

Из точки М к окружности с центром О проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если \angle AOB=120 градусов и MO  =  4.

Answer 1

Построим радиусы ОА и ОВ к точкам касания А и В. Касательные МА = МВ, ОА = ОВ = R, тогда прямоугольные треугольники АОМ и ВОМ равны, тогда угол ОМА = ОМВ = 120/2 = 60.

Тогда угол АОМ = 90 – 60 = 30.

Катет АМ лежит против угла 30, тогда АМ = МО/2 = 2 см.

В прямоугольном треугольнике АМН, Sin60 = AH / AM.

AH = AM * Sin60 = 2 * Sin60 = 2 * √3 см.

Тогда АВ = 2 * АН = 4 * √3 см.

Ответ: АВ = 4 * √3 см.

Answer 2

Чтобы найти расстояние между точками касания A и B касательных MA и MB к окружности с центром О, нужно использовать свойство касательных, которое гласит, что угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90 градусов. Из этого свойства следует, что треугольники MOA и MOB являются прямоугольными треугольниками.

Сначала найдем угол MOA, который будет половиной угла AOB, так как MO является радиусом окружности, а AOB - центральным углом:

Угол MOA = (1/2) * 120 градусов = 60 градусов.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник MOA с известным углом MOA и гипотенузой MO.

Мы можем использовать тригонометрию для нахождения длин сторон треугольника. Для этого воспользуемся функцией косинуса:

cos(60 градусов) = adjacent / hypotenuse,

где adjacent - это сторона, прилегающая к углу MOA, и она равна MA (поскольку MA - это касательная, то она перпендикулярна радиусу).

cos(60 градусов) = MA / 4,

Теперь найдем MA:

MA = 4 * cos(60 градусов).

cos(60 градусов) = 1/2, поэтому:

MA = 4 * (1/2) = 2.

Теперь мы знаем, что MA = 2. Так как MOB также является прямоугольным треугольником, то MB также будет равно 2. Таким образом, расстояние между точками касания A и B равно:

AB = MA + MB = 2 + 2 = 4.