Question

Розв'язати диференціальне рівняння y" - y tg x = ctg x Будь ласка дуже прошу терміново допоможіть мені розв'язати це завдання.

Answer 1

Ответ:

Розв'язок на фото

....?.....

Answer 2

Давайте розв'яжемо це диференціальне рівняння. Спочатку перепишемо його у більш зручному вигляді:

y'' - y * tg(x) = ctg(x)

Для початку, замінимо tg(x) і ctg(x) на їхні еквіваленти у вигляді sin(x)/cos(x) і cos(x)/sin(x) відповідно:

y'' - y * (sin(x)/cos(x)) = cos(x)/sin(x)

Тепер помножимо обидві сторони на cos(x) * sin(x), щоб позбавитися від знаменників:

cos(x) * sin(x) * y'' - y * sin^2(x) = cos(x)

Тепер давайте введемо заміну, щоб спростити рівняння. Позначимо u = y', тоді y'' = du/dx. Тепер ми можемо переписати рівняння так:

cos(x) * sin(x) * (du/dx) - y * sin^2(x) = cos(x)

Тепер давайте розділимо обидві сторони на cos(x) * sin(x):

du/dx - (y * sin(x)/cos(x)) = 1/sin(x)

Тепер ми маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку для u. Знайдемо загальний розв'язок цього рівняння:

du/dx - (y * sin(x)/cos(x)) = 1/sin(x)

du/dx = 1/sin(x) + (y * sin(x)/cos(x))

du/dx = (cos(x) + y * sin^2(x))/ (sin(x) * cos(x))

Тепер інтегруємо обидві сторони відносно x:

∫(1 du) = ∫((cos(x) + y * sin^2(x))/ (sin(x) * cos(x)) dx

Отримаємо:

u = ∫((cos(x) + y * sin^2(x))/ (sin(x) * cos(x)) dx + C

Тепер знайдемо u, підставивши заміну y' = u:

y' = ∫((cos(x) + y * sin^2(x))/ (sin(x) * cos(x)) dx + C

Знайдемо y, інтегруючи обидві сторони відносно x:

y = ∫(∫((cos(x) + y * sin^2(x))/ (sin(x) * cos(x)) dx) dx + Cx + D

Де C і D - це константи інтегрування.

Це є загальним розв'язком даного диференціального рівняння. Якщо у вас є початкові умови (наприклад, y(0) і y'(0)), ви можете використовувати їх, щоб знайти конкретні значення C і D.