Question

Тема. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами . Розв’язати рівняння : 1) y"-7y`+6y=0. 2) y"-10y`+25y=0

Answer 1

Для розв'язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами використовується характеристичний метод. Загальний вигляд рівняння виглядає так:

ay'' + by' + cy = 0

де a, b і c - постійні коефіцієнти.

Для розв'язання цих рівнянь потрібно спочатку знайти характеристичне рівняння, яке має вигляд:

ar^2 + br + c = 0

Після знаходження коренів характеристичного рівняння можна знайти загальний розв'язок.

Давайте розглянемо обидва ваші приклади:

1. y'' - 7y' + 6y = 0

Спочатку знайдемо характеристичне рівняння:

a = 1, b = -7, c = 6

ar^2 + br + c = r^2 - 7r + 6 = 0

Тепер знайдемо корені цього рівняння:

(r - 6)(r - 1) = 0

Отже, маємо два корені: r1 = 6 і r2 = 1.

Загальний розв'язок має вигляд:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t)

Де C1 і C2 - довільні константи.

2. y'' - 10y' + 25y = 0

Знову знайдемо характеристичне рівняння:

a = 1, b = -10, c = 25

ar^2 + br + c = r^2 - 10r + 25 = 0

Знайдемо корені:

(r - 5)(r - 5) = 0

Отже, маємо два однакових корені: r1 = 5 і r2 = 5.

Загальний розв'язок має вигляд:

y(t) = (C1 + C2 * t) * e^(r1 * t)

Де C1 і C2 - довільні константи.

Отже, ви отримали загальні розв'язки для обох задач. Вам залишається визначити значення констант C1 і C2 відповідно до початкових умов або інших обмежень завдання.