Question

Срочно!!!!!!!!!!!!! Розв'язати лінійні однорідні диференціальні рівняння (ЛОДР) 2-го порядку зі сталимикоефіцієнтами у” – 2 у' + 5 y = 0​

Answer 1

Ответ:

$y''- 2y'+ 5y = 0\\ \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} (k {}^{2} - 2 k + 5) = 0\\D = 4 - 20 = - 16 \\ k_1 = \frac{2 + \sqrt{ - 16} }{2} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i \\ k_2 = 1 - 2i \\ y = {e}^{x} (C_1 \sin(2x) + C_2 \cos(2x))$

общее решение

Answer 2

Давайте розв'яжемо це лінійне однорідне диференціальне рівняння (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами:

у'' - 2у' + 5у = 0.

Спробуємо знайти загальний розв'язок цього рівняння. Для цього спростимо процес, використовуючи характеристичне рівняння:

λ^2 - 2λ + 5 = 0.

Знайдемо корені характеристичного рівняння, використовуючи дискримінант:

D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16.

Дискримінант від'ємний, що означає, що характеристичне рівняння має комплексні корені. Корені можна знайти за допомогою формули:

λ = (-b ± √D) / (2a).

Знайдемо корені:

λ1 = (2 + 4i) / 2 = 1 + 2i, λ2 = (2 - 4i) / 2 = 1 - 2i.

Тепер, знаючи корені характеристичного рівняння, можна записати загальний розв'язок ЛОДР:

у(t) = c1 * e^(λ1t) + c2 * e^(λ2t),

де c1 і c2 - довільні константи.

Отже, загальний розв'язок даного ЛОДР виглядає так:

у(t) = c1 * e^(t) * cos(2t) + c2 * e^(t) * sin(2t).

Це і є загальний розв'язок задачі.