Question

|1 - 2x| + 3|x - 2| > 4 как решить поэтапно? ответ (−∞, 1) ∪ (11/5, +∞)

Answer 1

Ответ:

Неравенство      $\bf |\, 1-2x|+3\cdot |x-2) > 4$   .

Модули обращаются в 0 при  х=1/2  и  х=2 .

Эти точки разобьют числовую прямую на три промежутка . В каждом промежутке  модули будут раскрываться  в зависимости от знака подмодульного выражения .

____________(1/2) ____________ (2) _____________

Рассмотрим три случая .

$\bf 1)\ \ \underline{x\leq 0,5}\ \ \Rightarrow \ \ \ 1-2x\geq 0\ \ \Rightarrow \ \ \ |\, 1-2x|=1-2x\ \ ,\\\\x-2 < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x-2|=-(x-2)=2-x\\\\|1-2x|+3\cdot |x-2|=1-2x+3\, (2-x)=-5x+7\\\\-5x+7 > 4\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -5x > -3\ \ ,\ \ \underline{x < 0,6}$  

Полученное неравенство относительно   х  пересекается с рассматриваемым промежутком .  Поэтому на рассматриваемом промежутке  решением будут   $\bf \underline{x\leq 0,5}$ .  

$\bf 2)\ \ \underline{0,5 < x\leq 2}\ \ \Rightarrow \ \ \ 1-2x < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ |\, 1-2x|=-(1-2x)=2x-1\ \ ,\\\\x-2\leq 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x-2|=-(x-2)=2-x\\\\|\, 1-2x|+3\cdot |x-2|=2x-1+3\, (2-x)=-x+5\\\\-x+5 > 4\ \ \Rightarrow \ \ \ -x > -1\ \ ,\ \ \underline {x < 1}$

Решением будут   $\bf \underline{0,5 < x < 1}$   .  

$\bf 3)\ \ x > 2\ \ \Rightarrow \ \ \ 1-2x < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ |\, 1-2x|=-(1-2x)=2x-1\ \ ,\\\\x-2 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ |x-2|=x-2$  

$\bf |\, 1-2x|+3\cdot |x-2|=2x-1+3\, (x-2)=5x-7\\\\5x-7 > 4\ \ \ \Rightarrow \ \ 5x > 11\ \ ,\ \ x > \dfrac{11}{5}\ \ ,\ \ \underline{x > 5,5}$  

4)  Объединяем полученные решения , тогда

$\bf x\in \underbrace{(-\infty ;0,5\ ]\cup (0,5\, ;\ 1\ )}_{(-\infty ;\, 1\, )}\cup (\, 5,5\ ;+\infty \, )\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-\infty ;\ 1\ )\cup (\ 5,5\, ;+\infty \, )$

Ответ:   $\boldsymbol{x\in (-\infty ;\ 1\ )\cup (\ 5,5\, ;+\infty \, )}$   .

Answer 2

Давайте решим данное неравенство поэтапно. Нам нужно найти значения x, при которых неравенство |1 - 2x| + 3|x - 2| > 4 выполняется.

1. Рассмотрим случай, когда оба модуля (|1 - 2x| и |x - 2|) положительны:

   |1 - 2x| + 3|x - 2| > 4

   (1 - 2x) + 3(x - 2) > 4 (поскольку абсолютное значение выражения внутри модуля равно самому выражению, если оно положительное)

   1 - 2x + 3x - 6 > 4

   x - 5 > 4

   x > 9

2. Теперь рассмотрим случай, когда первый модуль отрицателен, а второй положителен:

   |1 - 2x| + 3|x - 2| > 4

   -(1 - 2x) + 3(x - 2) > 4 (поскольку абсолютное значение первого выражения меняется на противоположное, когда оно отрицательно)

   -1 + 2x + 3x - 6 > 4

   5x - 7 > 4

   5x > 11

   x > 11/5

3. Наконец, рассмотрим случай, когда оба модуля отрицательны:

   -(1 - 2x) + 3-(x - 2) > 4 (здесь мы меняем знаки обоих модулей)

   -1 + 2x - 3x + 6 > 4

   -x + 5 > 4

   -x > -1

   x < 1

Таким образом, мы получили три интервала:

1. x > 9 (из первого случая).
2. x > 11/5 (из второго случая).
3. x < 1 (из третьего случая).

Чтобы найти объединение этих интервалов, мы можем записать ответ в следующей форме:

(-∞, 1) ∪ (11/5, +∞)

Это означает, что x должно быть меньше 1 или больше 11/5, чтобы неравенство |1 - 2x| + 3|x - 2| > 4 выполнялось.