Question

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y=2sinx; y=-2sinx; x=0; x=п​

Answer 1

Оскільки фігура на проміжку -π/2<=x симетрична фігурі на проміжку x<=π/2, тому достатньо знайти площу фігури на проміжку x<=π/2 і помножити знайдену площу на 2.
Площа фігури з проміжку x<=π/2, обмеженої лініями y=2sinx, y=0, обчислюється наступним чином.

Оскільки y=2sinx вище ніж y=0 на проміжку x<=π/2, то площа дорівнює:
S' = integral[0;π/2](2sin(x)-0)dx = integral[0;π/2]2sin(x)dx = -2cos(x) [0;π/2] = -2cos(π/2) + 2cos(0) = 0 + 2 = 2

Загальна площа
S = 2S' = 2*2 = 4

Answer 2

Ответ:Отже, площа фігури, обмеженої лініями y=2sinx, y=-2sinx, x=0 та x=п, дорівнює 4 + 2πsinx.

Пошаговое объяснение:Для обчислення площі фігури обмеженої лініями y=2sinx, y=-2sinx, x=0 та x=п, спочатку необхідно знайти точки перетину цих ліній.

Лінії y=2sinx та y=-2sinx перетинаються, коли 2sinx = -2sinx.

Це відбувається, коли sinx = 0, тобто x може бути 0, π або 2π, або будь-яке ціле кратне π.

Таким чином, точки перетину цих ліній є:

(0, 0), (π, 0), (2π, 0), (3π, 0), ...

Тепер, для обчислення площі фігури, ми можемо розділити її на прямокутники та трикутники і обчислити їх площі окремо.

Прямокутники:

Фігура складається з двох прямокутників. Один з прямокутників має висоту 2sinx, а другий - висоту -2sinx. Ширина прямокутників - відповідно, dx.

Площа першого прямокутника:

A1 = ∫[0, π] 2sinx dx

= -2cosx ∣[0, π]

= -2cos(π) - (-2cos(0))

= -2(-1) - (-2(1))

= 2 + 2

= 4

Площа другого прямокутника:

A2 = ∫[π, п] -2sinx dx

= 2cosx ∣[π, п]

= 2cos(п) - 2cos(π)

= 2(-1) - 2(-1)

= -2 + 2

= 0

Трикутник:

Фігура також має один трикутник між лініями y=2sinx та y=-2sinx.

Висота трикутника - різниця між лініями y=2sinx та y=-2sinx, тобто 2sinx - (-2sinx) = 4sinx.

Основа трикутника - відстань між точками перетину, тобто π.

Площа трикутника:

A3 = (1/2) * основа * висота

= (1/2) * π * 4sinx

= 2πsinx

Тепер обчислимо площу фігури, склавши площі прямокутників та трикутника:

A = A1 + A2 + A3

= 4 + 0 + 2πsinx

= 4 + 2πsinx

Answer 3

Для обчислення площі фігури, обмеженої цими лініями, нам потрібно знайти точки перетину цих ліній і потім обчислити інтеграл функції, яка визначає цю фігуру.

Спочатку знайдемо точки перетину. Прирівняємо обидві функції y:

2sin(x) = -2sin(x)

Додамо 2sin(x) до обох боків:

4sin(x) = 0

Тепер поділимо обидві сторони на 4:

sin(x) = 0

Ця рівність має безліч розв'язків, але ми розглядаємо інтервал від x = 0 до x = π, тобто один період sin(x). Таким чином, ми маємо дві точки перетину на цьому інтервалі: x = 0 і x = π.

Тепер ми можемо обчислити площу фігури за допомогою інтеграла:

S = ∫[0, π] (2sin(x) - (-2sin(x))) dx

S = ∫[0, π] (2sin(x) + 2sin(x)) dx

S = 2∫[0, π] 2sin(x) dx

Тепер інтегруємо:

S = 4∫[0, π] sin(x) dx

S = -4cos(x) | [0, π]

S = (-4cos(π)) - (-4cos(0))

Оскільки cos(π) = -1 і cos(0) = 1, ми отримуємо:

S = (-4(-1)) - (-4(1))

S = 4 + 4

S = 8

Отже, площа фігури, обмеженої цими лініями, дорівнює 8 квадратним одиницям.