Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = 3xy - 12x^2 - 3y^2 + x на замкнутом множестве, ограниченном линиями x=0, y=2, y=2x

Answer 1

Ответ:

Для решения этой задачи необходимо определить критические точки функции внутри ограниченной области и значения функции на границах этой области.

Сначала найдем критические точки функции. Для этого найдем ее частные производные по x и y:

∂z/∂x = 3y - 24x + 1

∂z/∂y = 3x - 6y

Чтобы найти критические точки, приравняем эти производные к нулю:

3y - 24x + 1 = 0

3x - 6y = 0

Решая эти уравнения, находим x = 1/8 и y = 1/4. Эта точка (1/8, 1/4) лежит внутри ограниченной области.

Теперь найдем значения функции на границах этой области. Границы заданы линиями x=0, y=2 и y=2x.

На линии x=0 функция z = -12x^2 + x принимает наименьшее значение равное 0 при x=0 и наибольшее значение равное 0.5 при x=1/24.

На линии y=2 функция z = 6x - 3y^2 принимает наименьшее значение равное -12 при x=2/3 и наибольшее значение равное 0 при x=0.

На линии y=2x функция принимает вид z = -12x^2 + 12x, и ее наименьшее значение равно -3 при x=1/2, а наибольшее значение равно 0 при x=0 и x=1.

Итак, наименьшее значение функции равно -12, а наибольшее значение равно 0.5.

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции z = 3xy - 12x^2 - 3y^2 + x на заданном замкнутом множестве, мы сначала найдем критические точки функции внутри этого множества, а затем проверим значение функции в этих точках и на граничных линиях.

1. Найдем частные производные функции по x и y: ∂z/∂x = 3y - 24x + 1, ∂z/∂y = 3x - 6y.

2. Найдем критические точки, приравняв обе частные производные к нулю: 3y - 24x + 1 = 0, 3x - 6y = 0.

3. Решим систему уравнений для x и y: Из второго уравнения: 3x = 6y => x = 2y. Подставим x = 2y в первое уравнение: 3y - 24(2y) + 1 = 0, 3y - 48y + 1 = 0, -45y + 1 = 0, -45y = -1, y = 1/45.

Теперь найдем значение x, подставив y = 1/45 во второе уравнение: 3x - 6(1/45) = 0, 3x = 6(1/45), 3x = 2/45, x = 2/135 = 2/135.

Итак, у нас есть одна критическая точка (x, y) = (2/135, 1/45).

4. Теперь мы должны проверить значение функции z в этой критической точке и на граничных линиях x=0, y=2 и y=2x.

• Для точки (2/135, 1/45): z = 3(2/135)(1/45) - 12(2/135)^2 - 3(1/45)^2 + 2/135 ≈ 0.000296.

• Для x=0: z = 0.

• Для y=2: z = 3(0)(2) - 12(0)^2 - 3(2)^2 + 0 = -12.

• Для y=2x: Подставляем y=2x в функцию z: z = 3x(2x) - 12x^2 - 3(2x)^2 + x = 6x^2 - 12x^2 - 12x^2 + x = -18x^2 + x.

Теперь мы должны найти критические точки функции -18x^2 + x. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю: d/dx (-18x^2 + x) = -36x + 1, -36x + 1 = 0, -36x = -1, x = 1/36.

Теперь найдем значение функции z в этой критической точке: z = -18(1/36)^2 + 1/36 = -18(1/1296) + 1/36 ≈ -0.0139.

Таким образом, наименьшее значение функции z приближенно равно -0.0139, а наибольшее значение приближенно равно 0.000296.