Question

Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции z=f(x,y) на ограниченном замкнутом множестве D z=xy D: 4<=x^2+y^2<=9

Answer 1

Наименьшее 4,наибольшее 9
Это кольцо между окружностями радиуса 2 и 3 с центром в точке (0;0)

Answer 2

Дана функция z = f(x, y) = xy, и ограниченное замкнутое множество D задано условием 4 ≤ x^2 + y^2 ≤ 9.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на этом множестве, мы можем воспользоваться методом множителей Лагранжа.

Сначала составим функцию Лагранжа:

L(x, y, λ) = xy + λ(x^2 + y^2 - 9)

Теперь найдем частные производные L по x, y и λ:

∂L/∂x = y + 2λx ∂L/∂y = x + 2λy ∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 9

Равенство нулю частных производных дает нам систему уравнений:

y + 2λx = 0 ...(1) x + 2λy = 0 ...(2) x^2 + y^2 - 9 = 0 ...(3)

Из уравнений (1) и (2) можно получить выражение для λ:

2λx^2 + 2λy^2 = 0 x^2 + y^2 = 0

Так как x^2 + y^2 > 0 для любых значений x и y, то λ = 0.

Теперь вернемся к уравнениям (1) и (2) при λ = 0:

y = 0 x = 0

Из уравнения (3) мы получаем:

x^2 + y^2 = 9

Таким образом, решением системы уравнений являются точки (0, 0) и все точки на окружности x^2 + y^2 = 9.

Теперь подставим эти точки в исходную функцию z = xy:

z(0, 0) = 0 z(x, y) = xy

Мы видим, что значение функции z = xy равно нулю в точке (0, 0). На окружности x^2 + y^2 = 9 функция z = xy достигает своих максимальных и минимальных значений.

Для нахождения этих значений рассмотрим следующие точки на окружности:

1. (3, 0): z(3, 0) = 3 * 0 = 0

2. (-3, 0): z(-3, 0) = -3 * 0 = 0

3. (0, 3): z(0, 3) = 0 * 3 = 0

4. (0, -3): z(0, -3) = 0 * (-3) = 0

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции z = xy на ограниченном замкнутом множестве D: 4 ≤ x^2 + y